$\\$

$a,$

$MA=MD$ (gt) mà $A,M,D$ thẳng hàng

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AD$

Tứ giác $ABDC$ có :

$M$ là trung điểm của $BC, AD$ (gt, cmt)

$\Rightarrow ABDC$ là hình bình hành

Mà $\widehat{BAC}=90^o$ (gt)

$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật

$b,$

$I$ đối xứng $A$ qua $BC$ (gt)

$\Rightarrow BC$ là đường trung trực của $AI$

Mà $H$ là giao của $AI,BC$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AI$

$\triangle AID$ có :

$H,M$ là trung điểm của $AI,AD$ (cmt)

$\Rightarrow HM$ là đường trung bình của $\triangle AID$

$\Rightarrow HM//DI$ hay $BC//ID$

$c,$

$ABCD$ là hình chữ nhật (cmt)

$\Rightarrow BD=AC$

$BC$ là đường trung trực của $AI$ (cmt)

$\Rightarrow CI=AC$

Do đó :

$BD=CI$

Tứ giác $BIDC$ óc :

$ID//BC$ (cmt)

$\Rightarrow BIDC$ là hình thang

Mà $BD=CI$ (cmt)

$\Rightarrow BIDC$ là hình thang cân

$d,$

Gọi $O$ là giao của $AH,EF$ và $U$ là giao của $AM, EF$

Tứ giác $AEHF$ có :

$\widehat{A}=90^o$ (gt)

$\widehat{AEH}=90^o$ (gt)

$\widehat{AFH}=90^o$ (gt)

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

$O$ là giao của $AH,EF$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH,EF$ và $AH=EF$

$OA=\dfrac{1}{2}AH, OF=\dfrac{1}{2}EF$ mà $AH=EF$ (cmt)

$\Rightarrow OA=OF$

$\Rightarrow \triangle OAF$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAF}=\widehat{OFA}$

$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có :

$AM$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$ mà $CM=\dfrac{1}{2}BC$ (gt)

$\Rightarrow AM=CM$

$\Rightarrow \triangle AMC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^o\\\Rightarrow \widehat{UAF}+\widehat{UFA}=90^o\\\Rightarrow \widehat{AUF}=90^o$

Hay $AM\bot EF$