Đáp án:

$D.$

Giải thích các bước giải:

$\left\{\begin{array}{l} |x-3| \le 2 \\ x^2-2(m+1)x+m^2+1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2 \le x-3 \le 2 \\ x^2-2(m+1)x+m^2+1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1 \le x \le 5 \\ x^2-2(m+1)x+m^2+1 \le 0\end{array} \right.$

$f(x)=x^2-2(m+1)x+m^2+1 \le 0$ có nghiệm với $x \in [1;5]$

$\Rightarrow \underset{[1;5]}{min } f(x) \le 0(*)$

$-\dfrac{b}{2a}=m+1;a=1>0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;m+1)$; đồng biến trên $(m+1;+\infty)$

TH1: $m+1 <1 \Leftrightarrow m<0$

Hàm số luôn đồng biến trong đoạn $[1;5]$

$\Rightarrow \underset{[1;5]}{min } f(x)=f(1)=m^2 - 2 m\\ (*) \Leftrightarrow m^2 - 2 m \le 0 \Leftrightarrow m(m-2) \le 0 \Leftrightarrow 0\le m \le 2(L)\\ TH2: 1 \le m+1 \le 5 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\\ \underset{[1;5]}{min } f(x)=f(m+1)=-2m\\ (*) \Leftrightarrow -2m \le 0\Leftrightarrow m \ge 0$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow m \in [0;4]$

$TH3: m+1 >5 \Leftrightarrow m>4$

Hàm số luôn nghịch biến trong đoạn $[1;5]$

$\Rightarrow \underset{[1;5]}{min } f(x)=f(5)=m^2 - 10 m + 16\\ (*) \Leftrightarrow m^2 - 10 m + 16 \le 0 \Leftrightarrow (m - 8) (m - 2) \le 0 \Leftrightarrow 2\le m \le 8$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow m \in (4;8]$

Kết hợp các trường hợp $\Rightarrow m \in [0;8]$

$m \in \mathbb{Z} \Rightarrow 9$ giá trị $m.$