Đáp án:

$B.\ \dfrac{44}{5}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $z = x + yi\ \ (x;y\in\Bbb R)$

$\Rightarrow M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức

Ta có: $|z +1 - i| + |z - 3 - 4i| = 5$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là một Elipse với hai tiêu điểm $F_1(-1;1),\ F_2(3;4);\ 2a = 5$

mà $F_1F_2 = 5 = 2a$

nên Elipse trên suy biến

Khi đó, các điểm $M$ sẽ di chuyển trên đoạn $F_1F_2$

Ta có: $\overrightarrow{F_1F_2} = (4;3)$

$\Rightarrow$ Phương trình $F_1F_2: \begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 1 + 3t\end{cases}$

Ta lại có: $x\in [-1;3] \Rightarrow t \in [0;1]$

Gọi $M_1(x_1;y_1);\ M_2(x_2;y_2)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1, z_2$

$\Rightarrow M_1M_2 = |z_1 - z_2| = 2$

Do $M_1\in F_1F_2$

$\Rightarrow M_1(-1+4t;1+3t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 + 1 - 4t;y_2 - 1 - 3t)$

$\bullet\quad \overrightarrow{M_1M_2}$ cùng hướng $\overrightarrow{F_1F_2}$

Ta được: $\dfrac{x_2 + 1 - 4t}{4} = \dfrac{y_2 - 1 - 3t}{3} = \dfrac25$

$\Rightarrow \begin{cases}x_2= \dfrac35 + 4t\\y_2 = \dfrac{11}{5} + 3t\end{cases}$

Khi đó:

$\quad P = |z_1 - 5i|^2 - |z_2 - 5i|^2$

$= x_1^2 + (y_1 - 5)^2 - x_2^2 - (y_2 - 5)^2$

$= (-1 + 4t)^2 + (1 + 3t - 5)^2 - \left(\dfrac35 + 4t\right)^2 - \left(\dfrac{11}{5} + 3t - 5\right)^2$

$= \dfrac{44}{5} - 20t$

$\Rightarrow P_{\max} = \mathop{\max}\limits_{[0;1]}\left(\dfrac{44}{5} - 20t\right) = \dfrac{44}{5}$

$\bullet\quad \overrightarrow{M_1M_2}$ ngược hướng $\overrightarrow{F_1F_2}$

Ta được: $\dfrac{x_2 + 1 - 4t}{4} = \dfrac{y_2 - 1 - 3t}{3} = -\dfrac25$

$\Rightarrow \begin{cases}x_2= -\dfrac{13}{5} + 4t\\y_2 =- \dfrac{1}{5} + 3t\end{cases}$

Khi đó:

$\quad P = |z_1 - 5i|^2 - |z_2 - 5i|^2$

$= x_1^2 + (y_1 - 5)^2 - x_2^2 - (y_2 - 5)^2$

$= (-1 + 4t)^2 + (1 + 3t - 5)^2 - \left(-\dfrac{13}{5}+ 4t\right)^2 - \left(-\dfrac{1}{5} + 3t - 5\right)^2$

$= 20t - \dfrac{84}{5}$

$\Rightarrow P_{\max} = \mathop{\max}\limits_{[0;1]}\left(20t - \dfrac{84}{5}\right) = \dfrac{16}{5}$

Vậy $\max P = \dfrac{44}{5} \Leftrightarrow \begin{cases}z_1 = -1 + i\\z_2 = \dfrac35 + \dfrac{11}{5}i\end{cases}$