Đáp án:\({F_{\min }} = \frac{{({k_1} + {k_2})Mg + (2{k_1} + {k_2})m.g}}{{\sqrt {1 + k_2^2} }}; \tan \alpha  = {k_2}\)

Giải thích các bước giải:

vật m có: 
\(\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{N_1}}  + \overrightarrow {F{}_{ms21}}  = m.\overrightarrow a (1)\)

chiếu vật lên: 
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{OX: }}{{\rm{F}}_{ms21}} = m.a =  > {a_1} = \frac{{{F_{mm21}}}}{m}\\
OY:{N_1} - {P_1} = 0 =  > {N_1} = {P_1} =  > {F_{ms21}} = {k_1}.{N_1} = {k_1}.mg
\end{array} \right.\)

=>\({a_1} = \frac{{{k_1}mg}}{m} = {k_1}.g\) khi vật trượt thì a1=k1.m.g

xét vật M: 
\(\overrightarrow F  + \overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{N_2}}  + \overrightarrow {{F_{ms12}}}  + \overrightarrow {{F_{ms}}}  = (M + m).\overrightarrow {{a_2}}(2) \)

chiếu vật lên:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{OX}}:F.cos\alpha  - {F_{ms12}} - {F_{ms}} = (M + m){a_2} =  > {a_2} = \frac{{F.cos\alpha  - {F_{ms12}} - {F_{ms}}}}{{M + m}}\\
OY:F.\sin \alpha  - ({P_1} + {P_2}) + {N_2} = 0 =  > {N_2} = {P_1} + {P_2} - F.\sin \alpha 
\end{array} \right.\)

 ta có: 
\(\left\{ \begin{array}{l}
{F_{ms12}} = {k_1}mg\\
{F_{ms}} = {k_2}.{N_2} = {k_2}({P_1} + {P_2} - F.\sin \alpha )
\end{array} \right. =  > {a_2} = \frac{{F.cos\alpha  - {k_1}.m.g - {k_2}({P_1} + {P_2} - F.\sin \alpha )}}{{M + m}}\)

khi vật trượt: 
\({a_1} \le {a_2} =  > {k_1}.g \le {a_2} = \frac{{F.cos\alpha  - {k_1}.m.g - {k_2}({P_1} + {P_2} - F.\sin \alpha )}}{{M + m}}\)

=>\(F \ge \frac{{({k_1} + {k_2})Mg + (2{k_1} + {k_2})mg}}{{cos\alpha  + {k_2}\sin \alpha }} = \frac{{({k_1} + {k_2})Mg + (2{k_1} + {k_2})mg}}{y}\)

Fmin<=>ymax

\(y = \sqrt {{{(cos\alpha  + {k_2}\sin \alpha )}^2}}  \le \sqrt {({1^2} + k_2^2)(co{s^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha )}  = \sqrt {1 + k_2^2} \)

\({F_{\min }} = \frac{{({k_1} + {k_2})Mg + (2{k_1} + {k_2})m.g}}{{\sqrt {1 + k_2^2} }} =  > \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{{k_2}}}{1} =  > \tan \alpha  = {k_2}\)