Giải thích các bước giải:

 Đặt \(t = \sin x,\,\,\,\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\), khi đó phương trình đã cho trở thành:

\[f\left( t \right) = {t^3} + 2m{t^2} - \left( {6 + 3m} \right)t + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Phương trình đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (1) nghịch biến trên khoảng (0;1)

Suy ra 

\(\begin{array}{l}
f'\left( t \right) \le 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4mt - \left( {6 + 3m} \right) \le 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {3{t^2} - 6} \right) + m\left( {4t - 3} \right) \le 0,,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
 \Leftrightarrow m\left( {4t - 3} \right) \le 6 - 3{t^2},\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \frac{{6 - 3{t^2}}}{{4t - 3}},\,\,\,\forall t \in \left( {\frac{3}{4};1} \right)\\
m \ge \frac{{6 - 3{t^2}}}{{4t - 3}},\,\,\,\forall t \in \left( {0;\frac{3}{4}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải hệ trên để suy ra giá trị của m