a,

Vì ΔABC cân ở A nên ∠ABC= ∠ACB (*)

Vì M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC ⇒ MN là đường trung bình của ΔABC

⇒ MN // BC (**)

Từ (*) và (**)⇒ BCNM là hình thang cân có đáy MN và BC

b,

Ta có NP cũng là đường trung bình của ΔABC ⇒ ∠ABC= ∠NPC

⇒ ΔNPC cân ở N

⇒ NP= NC

Mà AC= 2NC, PD= 2NP

⇒ AC= PD

Ta thấy: tứ giác APCD có 2 đường chéo AC và PD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ⇒ APCD là hình chữ nhật

c, 

Vẽ ΔBFD vuông ở F

Ta cm được BCDF là hình chữ nhật ( tự chứng minh, cái này dễ)

⇒ FABP là hình chữ nhật

⇒ AP // BF

hay AO //  BF

ΔBFD có A là trung điểm của FD( cái này hơn dài, nhưng cũng dễ, chứng minh thông qua BP và CP)

mà AO // BF ⇒ AO là đường trung bình của ΔBFD

⇒ O là trung điểm của BD

⇒ OB= OD

Gọi H là trung điểm của DC ⇒ NH là đường trung bình của DC

⇒ NH // AD hay OH // AD

⇒ ADHO là hình chữ nhật

Gọi L là giao điểm của AH với DO ⇒ L là trung điểm của AH và OL= 1/2.OD

Ta chứng minh được N là trung điểm của OH( hãy tự suy nghĩ để chứng minh, khá đơn giản)

Xét ΔAOH có OL và AN là đường trung tuyến, G là giao điểm của OL với AN

⇒ G là trọng tâm của ΔAOH

⇒ OG= 2/3.OL= 2/3.1/2.OD

⇒ OG= 1/3.OD

Ta có: BD= 2.OD

DG= OD-OG= OD-1/3.OD= 2/3.OD=BD/3= 1/3.BD

d,

ta chứng minh được ONEP là hình chữ nhật( tự chứng minh đi đừng lười)

Để ONEP là hình vuông thì ON=OP (1)

Mà ta cũng chứng mình được AMPN là hình thoi( cái này cũng easy lắm :V ) (2)

⇒ AP= MN

⇒ AMPN là hình vuông

⇒ ∠MAN = 90 độ

⇒ ΔABC vuông cân ở A

a, Ta có: MA=MB

              NA=NC  ⇒MN//BC (1)

và AB=AC ⇒MB=NC (2)

-Từ (1) và (2) ⇒BCNM là hình thang cân

b, Ý b chứng minh AD//PC và AD=PC (chứng minh hộ mình nhé!)

c, ΔPAD có AN và NO là 2 trung tuyến ⇒G là trọng tâm ΔPAD ⇒DG=2OG

Vì ANPM là hình thoi ⇒ΔOAG=ΔOPI(c.g.c)⇒OG=OI (2 cạnh tương ứng)⇒GD=GI

ΔAPB có PM=BO là 2 đường trung tuyến ⇒I là trọng tâm ΔABP ⇒BI=2IO=IH

⇒IB=IG=GD=BD/3

d, Vì ONEP là HCN ⇒ nó là hình vuông khi PO=PE⇒AP=PC=1/2BC⇒ΔABC vuông cân tại A

*Hình dưới nha, nhưng chỉ mang tính chất tương đối