Giải thích các bước giải:

a.Ta có :
$CA,CM $ là tiếp tuyến của (O) $\to CA=CM, OC $ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $DM=DB, OD$ là phân giác của $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o\to CO\perp OD$

Vì $DM\perp OM, DB\perp OB\to M,O,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính OD

b.Từ câu a $\to CD=CM+DM=AC+BD$

c.Ta có : $OC\perp OD, OM\perp CD$

$\to CM.DM=OM^2\to AC.BD=OM^2=R^2$ không đổi

d.Gọi E là trung điểm CD
$\to (E,EO)$ là đường tròn đường kính CD vì $OC\perp OD$

Mà $AC\perp AB, BD\perp AB\to AC//BD\to ACDB$ là hình thang

Mà O,E là trung điểm AB,CD 

$\to OE$ là đường trung bình hình thang $ABDC\to OE//AC\to OE\perp AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của (E,EO)

e.Ta có :
$AC//BD, CM=CA,DM=DB$
$\to\dfrac{CM}{DM}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CN}{NB}\to MN//BD\to MN\perp AB$

f.Gọi $EO\cap (O)=F\to F$ nằm chính giữa cung AB

$\to \widehat{ABF}=45^o$

Vì $BN'$ là phân giác $\widehat{ABD}\to \widehat{ABN'}=45^o$

$\to F,N',B$ thẳng hàng

$\to \dfrac{OF}{BD}=\dfrac{FN'}{N'B}$

$\to \dfrac{OF+BD}{BD}=\dfrac{FN'+N'B}{N'B}$

$\to \dfrac{OF+BD}{BD}=\dfrac{FB}{N'B}$

$\to \dfrac{R+BD}{BD}=\dfrac{R\sqrt{2}}{N'B}$

$\to \dfrac{R}{BD}+1=\dfrac{R\sqrt{2}}{N'B}$

$\to \dfrac{1}{BD}+\dfrac{1}{R}=\dfrac{\sqrt{2}}{N'B}$

$\to \dfrac{1}{BD}+\dfrac{1}{OB}=\dfrac{\sqrt{2}}{N'B}$