Giải thích các bước giải:

a.Vì N, M là trung điểm AH,BH

$\rightarrow MN$ là đường trung bình $\Delta AHB\rightarrow MN//AB\rightarrow\Diamond ABMN$ là hình thang

b.Vì $MN//AB\rightarrow MN\perp BC$ mà $BH\perp CN\rightarrow M$ là trực tâm $\Delta BNC$

$\rightarrow CM\perp BN$

c.Vì $NM$ là đường trung bình $\Delta HAB\rightarrow MN=\dfrac{1}{2}.AB=\dfrac{1}{2}CD=CI$

Mà $MN//AB\rightarrow MN//CI\rightarrow \Diamond NMCI$ là hình bình hành

$\rightarrow NI//CM\rightarrow IN\perp BN\rightarrow\widehat{BNI}=90^o$

d.Ta có :

$AC^2=AB^2+BC^2=4BC^2+BC^2=5BC^2\rightarrow AC=BC\sqrt{5}$

$BH.AC=AB.BC=2BC.BC=2BC^2$

$\rightarrow BH=\dfrac{2BC^2}{AC}=\dfrac{2BC}{\sqrt{5}}$

$\rightarrow BH+AC=\dfrac{2BC}{\sqrt{5}}+BC\sqrt{5}>3BC$