a) Do $CN\parallel MB$

$\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{DCN}$ (2 góc ở vị trí đồng vị) (1)

và $\widehat{DBM}=\widehat{DNC}$ (2 góc ở vị trí đồng vị) (2)

Mà ta có $DM=DB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên $\Delta DMB$ cân đỉnh $D\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{DBM}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DCN}=\widehat{DNC}$ (do cùng bằng hai góc bằng nhau =$\widehat{DMB}=\widehat{DBM}$)

$\Rightarrow \Delta DCN$ cân đỉnh $D\Rightarrow DC=DN$ (đpcm)

 

b) Ta có $CM=DC-DM=DN-DB=BN$

Xét $\Delta$ vuông $  CMO$ và $\Delta $ vuông $NBO$ có:

$CM=NB$ (chứng minh trên)

$OM=OB$ $(=R)$

$\Rightarrow \Delta$ vuông $  CMO=\Delta $ vuông $NBO$ (ch-cgv)

$\Rightarrow OC=ON$ (hai cạnh tương ứng)

và $\widehat{AOC}=\widehat{BON}$ (đối đỉnh), $OA=OB$

$\Rightarrow \Delta AOC=\Delta BON$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{NBO}=90^o$

$\Rightarrow CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại tiếp điểm $A$ (đpcm)

 

c) Ta chứng minh được $MB\bot OD$ mà $CN\parallel MB$

$\Rightarrow CN\bot OD$

$\Rightarrow S_{CDN}=2.S_{COD}=2.\dfrac{1}{2}.OM.CD=OM.CD$

Mà $OM=R$ không đổi để $S_{CDN}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $CD$ nhỏ nhất.

$CD$ nhỏ nhất khi $CD=AB$

$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật có $AB\parallel CD$

$\Rightarrow OM\bot AB$

$\Rightarrow M$ ở chính giữa cung $AB$

Vậy với $M$ ở chính giữa cung $AB$ thì $S_{CDN} $ đạt nhỏ nhất và $S_{CDNmin}=OM.AB=R.2R=2R^2$.