Giải thích các bước giải:

a) \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle ACE = {90^0}\)

Xét tứ giác ACEH có: \(\angle ACE + \angle AHE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp\( \Rightarrow \angle ACH = \angle AEH\) (hai góc nt cùng chắn cung AH)

Mà \(\angle AEH = \angle ADC\) (so le trong dó CD // EF – cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle ADC\) (1)

Ta có \(AB \bot CD \Rightarrow AB\) đi qua trung điểm của CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AB\) là trung trực của CD.

\( \Rightarrow AC = AD\) (tính chất trung trực)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại A \( \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle ACH = \angle ACD\).

Lại có \(\angle ACD = \angle AFH\) (so le trong) \( \Rightarrow \angle ACH = \angle AFH\)

\( \Rightarrow \Delta HCF\) cân tại \(H \Rightarrow HC = HF\).

c) Ta có: \(\angle ACH = \angle ACD\) (cmt)

\(\angle ACO = \angle OAC\) (tam giác OAC cân tại O)

\( \Rightarrow \angle OCH = \angle ACH + \angle ACO = \angle ACD + \angle OAC = {90^0}\)

Vậy HC là tiếp tuyến của (O) tại C.

d) Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta BEH\) có:

\(\begin{array}{l}\angle B\,\,chung\\\angle BCA = \angle BHE = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BAC \sim \Delta BEH\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BC}}{{BH}} = \frac{{BA}}{{BE}} \Rightarrow BC.BE = BA.BH\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Hình tự vẽ nhé.

Ta có: `EF⊥AB` và `CD⊥AB` nên: 

`=>EF////CD`

`=> ∠HFA=∠ACD`

Ta lại có: Đường kính `AB` và `CD⊥AB`

`=>AB` là đường trung trực của `CD`

`=>∡AC=∡AD`

`=> sđ∡AC=sđ∡AD`

`=>∠HCA=∠ACD( chắn ∡AC;∡AD)`

Dễ suy ra được: `∠HFA=∠HCA`

Ta có: `∠HCO=∠HCA+∠ACO`

Và: `∠HCA=∠HFA(+∠FEB=90^0)`

Và: `∠CBA=∠OCB`

`=>∠HCA=∠COB`

Mà: `∠COB+∠ACO=∠ACB=90^0`

`=>∠HCO=∠HCA+∠ACO=90^0`

`=>HC⊥OC`

`=>HC` là tiếp tuyến của đường tròn tâm `O`