Giải thích các bước giải:

a. Ta có: $CF$ là đường kính của $(O)\to EF\perp CE$

$\to \widehat{FAB}=\widehat{FEB}=90^o$

$\to ABEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BF$

b.Vì $D\in (O), CF$ là đường kính của $(O)\to FD\perp DC\to \widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to BADC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{FCE}=\widehat{FDE}$

$\to DF$ là phân giác $\widehat{ADE}$

c.Xét $\Delta OHE,\Delta OEA$ có:

Chung $\hat O$

$\widehat{OEH}=\widehat{OED}=90^o-\dfrac12\widehat{DOE}=90^o-\widehat{DCE}=90^o-\widehat{DCB}=\widehat{DBC}=\widehat{EBF}=\widehat{FAE}=\widehat{OAE}$

$\to \Delta OEH\sim\Delta OAE(g.g)$

$\to \dfrac{OE}{OA}=\dfrac{OH}{OE}$

$\to OE^2=OA\cdot OH$

d.Ta có: $CF$ là đường kính của $(O)\to FD\perp CD, CG\perp FG$

$\to FD\perp CI, CG\perp FI$

Mà $CG\cap FD=K$

$\to K$ là trực tâm $\Delta ICF\to IK\perp FC$

Kẻ $IK\cap OA=H'$

$\to IK\perp OA=H'$

$\to \widehat{KGF}=\widehat{KH'F}=90^o\to FGKH'$  nội tiếp

Tương tự $KDCH'$ nội tiếp 

$\to \widehat{DGC}=\widehat{DFC}=\widehat{KFH'}=\widehat{KGH'}$

$\to GK$ là phân giác $\widehat{DGH'}$

$\to \widehat{DOC}=2\widehat{DGC}=\widehat{DGH'}$

$\to DGH'O$ nội tiếp

$\to \widehat{OH'D}=\widehat{OGD}=\widehat{ODG}=\widehat{ODA}$

Mà $\widehat{DOH'}=\widehat{DOA}$

$\to \Delta OH'D\sim\Delta ODA(g.g)$

$\to \dfrac{OH'}{OD}=\dfrac{OD}{OA}$

$\to OH'=\dfrac{OD^2}{OA}=\dfrac{OE^2}{OA}=OH$ vì $OE^2=OA\cdot OH$

$\to H\equiv H'$

$\to I, K, H$ thẳng hàng