$\quad ∆:4x-y-23=0$

`<=>y=4x-23`

Vì `P\in (∆)=>P(a;4a-23)`

`\qquad E(4;-7)`

`=>\vec{EP}=(a-4;4a-23+7)=(a-4;4a-16)`

$\\$

Để `EP=\sqrt{17}`

`<=>EP^2=17`

`<=>(a-4)^2+(4a-16)^2=17`

`<=>(a-4)^2+4^2.(a-4)^2=17`

`<=>17(a-4)^2=17`

`<=>(a-4)^2=1`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}a-4=1\\a-4=-1\end{array}\right.$

`<=>`$\left[\begin{array}{l}a=5\\a=3\end{array}\right.$

$\\$

+) Với `a=5`

`=>4a-23=4.5-23=-3`

`=>P(5;-3)`

$\\$

+) Với `a=3`

`=>4a-23=4.3-23=-11`

`=>P(3;-11)`

$\\$

Vậy tọa độ $P$ thỏa đề bài là: 

`P(5;-3)` hoặc `P(3;-11)`

_______

(Bạn cho $∆ABC$ không liên quan, và mình bổ sung: $(∆)4x-y-23=0$)

$P\in \Delta: 4x-y-23=0\Leftrightarrow \Delta: y=4x-23$

$\to P(t; 4t-23)$

$EP=\sqrt{(t-4)^2+(4t-23+7)^2}=\sqrt{t^2-8t+16+16t^2-128t+256}=\sqrt{17t^2-136t+272}$

$PE=\sqrt{17}$

$\to 17t^2-136t+272=17$

$\to 17t^2-136t+255=0$

$\to t_1=3; t_2=5$

Vậy $P(3; -11)$ hoặc $P(5;-3)$