Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a, \(\widehat{A1}=\widehat{A4}\)( cùng phụ góc BAC) 

ta có \(\widehat{A1}+\widehat{BAC}=90^{\circ}\)

lại có tam giác ABD và ACE vuông cân nên

\(\widehat{C1}=\widehat{E2}=\widehat{B2}=\widehat{D2}=45^{\circ}\)

m là trung điểm  NA và BC nên ACNB hình bình hành=>\(\widehat{N1}=\widehat{A3}\)

=>\(\widehat{N1}+\widehat{A2}=\widehat{BAC}\)=> \(\widehat{ABN}=180^{\circ}-\widehat{BAC}\)

=\(2.90^{\circ}-\widehat{BAC}=2.(\widehat{A1}+\widehat{BAC})-\widehat{BAC}=2\widehat{A1}+\widehat{BAC}=\widehat{EAD}\)

suy ra \(\widehat{ABN}=\widehat{EAD}\) => 2 tam giác EAD và NBA bằng nhau

suy ra ED=AN và \(\widehat{A2}=\widehat{ADE}\) mà \(\widehat{A2}+\widehat{MAD}=90^{\circ}\) =>\(\widehat{ADE}+\widehat{MAD}=90^{\circ}\)=> ED ⊥ AN

b, theo câu a dễ thấy tam giác AEB và ACD bằng nhau => BE = CD và

\(\widehat{D1}+\widehat{D2}=\widehat{B1}\)

lại có \(\widehat{E1}+\widehat{B2}=\widehat{BAC}+\widehat{C1}\) =>

\(\widehat{E1}+\widehat{D1}+45^{\circ}=\widehat{BAC}+45^{\circ}\)

hay \(\widehat{E1}+\widehat{D1}=\widehat{BAC}\)

gọi O là giao BE và CD

AEOD có \(2\widehat{A1}+\widehat{BAC}+45^{\circ}+\widehat{E1}+\widehat{O}+\widehat{D1}+45^{\circ}=360^{\circ}<=>2\widehat{A1}+2\widehat{BAC}+\widehat{O}+90^{\circ}=360^{\circ}=>\widehat{O}=90^{\circ}\)     đpcm

c.Gọi giao của AH và DE=I

ta có \(\widehat{IAE}+\widehat{HAC}=90^{\circ}=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}\)

nên \(\widehat{IAE}=\widehat{HCA}\)

lại có \(\widehat{A3}=\widehat{AEI}\) và AC=AE nên tam giác AEI bằng CMA

suy ra MA=EI suy ra I là trung điểm ED đpcm