a) Tứ giác $AHCE$ có hai đường chéo $AC$ và $HE$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên $AHCE$ là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}=90^o$

Nên tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b)Tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật nên $HE=AC$ mà $AC=AB$, nên $HE=AB$ (đpcm)

c) $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AH$ là đường cao nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, nên $BH=HC$

$\Rightarrow AE=BH$ (do $=HC$)

Ta lại có $AE\parallel HC\Rightarrow AE\parallel BH$

Từ 2 điều trên suy ra $ABHE$ là hình bình hành

$\Rightarrow BF\parallel DE$ (1)

Tam giác $ABC$ có 2 đường trung tuyến $BD$ và $AH$ giao nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow CG$ là đường trung $\Rightarrow F$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow BF=DE$ $(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{HE}{2})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BDEF$ là hình bình hành

$\Rightarrow EF\parallel BG$ (đpcm).