Bổ sung đề `AO;AO'` cắt `(O')` tại điểm thứ hai là `E;F`

`c)` `\hat{ABC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O))$

`=>AB`$\perp BC$ $(1)$

`\qquad \hat{ABF}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O'))$

`=>AB`$\perp BF$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>C;B;F` thẳng hàng 

$\\$

`AC` là dây cung của `(O)` đi qua tâm `O` 

`=>AC` là đường kính của `(O)`

`=>O` là trung điểm $AC$

Tương tự `O'` là trung điểm $A F$

`=>O O'` là đường trung bình `\Delta ACF`

`=>O O'`//$CF$

`=>\hat{A O O'}=\hat{EC F}` $(3)$ (hai góc đồng vị)

$\\$

Vì `CDE F` nội tiếp (câu a)

`=>\hat{ECF}=\hat{EDF}` (cùng chắn cung $E F)$ $(4)$

Từ `(3);(4)=>\hat{AO O'}=\hat{EDF}=\hat{ADE}`

Ta lại có: `\hat{OA O'}=\hat{DAE}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\Delta AO O'`$\backsim$`\Delta ADE` (g-g)

`=>{AO}/{AD}={AO'}/{AE}`

`=>AO.AE=AO'.AD` (đpcm)

$\\$

`d)` `N` và `A` đối xứng qua `I` (gt)

`=>I` là trung điểm $AN$

Mà `I` là trung điểm $CF$ (gt)

`=>AN` và $CF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

`=>ACNF` là hình bình hành 

`=>NF`//$CA; NC$//$FA$

`=>NF`//$CE; NC$//$FD$ $(5)$

$\\$

Ta có:

`\hat{ADC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O))$

`=>FD`$\perp MC$ $(6)$

`\hat{AE F}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O'))$

`=>CE`$\perp MF$ $(7)$

Từ `(5);(6);(7)=>NF`$\perp MF; NC\perp MC$

`=>\hat{NFM}=90°;\hat{NCM}=90°`

`=>\hat{NFM}+\hat{NCM}=180°`

Mà `\hat{NFM};\hat{NCM}` ở vị trí đối nhau

`=>CMFN` nội tiếp 

`=>C;M;F;N` cùng thuộc một đường tròn

`=>N` thuộc đường tròn ngoại tiếp `\Delta MCF` (đpcm)