Lời giải:

$(d): \dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{2}$

$\Leftrightarrow (d):\begin{cases}x = 2 - t\\y = 2t\\z = -1 + 2t\end{cases}\quad (t \in \Bbb R)$

$(\alpha): x + y + z - 3 =0$

1) Tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là nghiệm của hệ:

$\quad \begin{cases}x = 2 - t\\y = 2t\\z = -1 + 2t\\x +y + z - 3 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow (2 - t) + 2t + (-1 + 2t) - 3 =0$

$\Leftrightarrow 3t -2 =0$

$\Leftrightarrow t = \dfrac23$

$\Rightarrow I\left(\dfrac43;\dfrac43;\dfrac13\right)$

2) Ta có: $M(2;0;-1)\in (d)$

Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(\alpha)$

$\Rightarrow NI$ là hình chiếu vuông góc của $(d)$ lên $(\alpha)$

Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc $(\alpha)$

$\Rightarrow (\Delta)$ nhận VTPT $\overrightarrow{n}= (1;1;1)$ của $(\alpha)$ làm VTCP

Phương trình đường thẳng $(\Delta)$ đi qua $M(2;0;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (1;1;1)$ làm VTCP có dạng:

$(\Delta): \begin{cases}x = 2 + m\\y = m\\z = -1 + m\end{cases}\quad (m \in \Bbb R)$

Tọa độ $N$ là nghiệm của hệ:

$\quad\begin{cases}x = 2 + m\\y = m\\z = -1 + m\\x + y + z - 3 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow (2+m) + m + (-1 + m) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3m - 2 =0$

$\Leftrightarrow m = \dfrac23$

$\Rightarrow N\left(\dfrac83;\dfrac23;-\dfrac13\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{NI} = \left(-\dfrac43;\dfrac23;\dfrac23\right)$

Chọn $\overrightarrow{u} = (-2;1;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{NI}$

Phương trình đường thẳng $NI$ đi qua $I\left(\dfrac43;\dfrac43;\dfrac13\right)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (-2;1;1)$ làm VTCP có dạng:

$(NI): \begin{cases}x = \dfrac43 - 2n\\y = \dfrac43 + n\\z = \dfrac13 + n\end{cases}\quad (n \in \Bbb R)$