a) Ta có: $AE=AB$; $AG=AC$

Xét hai đường thẳng $EB$ và $GC$ có điểm $A$ không thuộc hai đường thẳng ta có:

$\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow EB\parallel GC\Rightarrow $ tứ giác $EBCG$ là hình thang

$EC=EA+AC=BA+AG=BG$

$\Rightarrow EC=BG$

Hình thang $EBCG$ có hai đường chéo bằng nhau

$\Rightarrow EBCG$ là hình thang cân.

 

b) Tứ giác $AEKG$ là hình chữ nhật vì có $\widehat E=\widehat A=\widehat G=90^o$

$\Rightarrow AK\cap EG $ tại trung điểm của mỗi đường

Mà $M$ là trung điểm của $EG\Rightarrow M$ là trung điểm của $AK$

$\Rightarrow A,M,K$ thẳng hàng.

 

c) Gọi $H=MA\cap BC$

Ta có $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (đối đỉnh) (1)

$\widehat{GBC}=\widehat{GEC}$ (do $\Delta ECG=\Delta BGC$ (c.c.c))

Mà $\widehat{GEC}=\widehat{EAK}$

$\Rightarrow \widehat{GBC}=\widehat{EAK}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{GBC}+\widehat{A_2}=\widehat{EAK}+\widehat{A_1}=90^o$

$\Delta BHA$ có $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o$

$\Rightarrow\widehat{BHA}=90^o$

$\Rightarrow AH\bot BC$ hay $AM\bot BC$ (*)

 

d) Gọi $BF\cap KC=Q$

Và $DC\cap KB=O$

Tứ giác $AEKG$ có $\widehat E=\widehat G=\widehat A=90^o\Rightarrow AEGK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow KG=AE=AB$

Ta có $ KF=KG+GF=AB+AG=BG$

Xét $\Delta$ vuông $ BGF$ và $\Delta $ vuông $KFC$ có:

$GF=FC$ ($ACFG$ là hình vuông)

$BG=KF$ (chứng minh trên )

$\Rightarrow $ $\Delta$ vuông $ BGF=\Delta $ vuông $KFC$ (cgv.cgv)

$\Rightarrow \widehat{BFG}=\widehat{KCF}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{BFG}+\widehat{BFC}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{KCF}+\widehat{BFC}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{QCF}+\widehat{QFC}=90^o$

Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác $\Delta QCF\Rightarrow$$\widehat{FQC}=90^o$

$\Rightarrow BF\bot KC$ (**)

 

Chứng minh tương tự $\Delta$ vuông $ KDB=\Delta$ vuông $ CED$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{DBK}=\widehat{EDC}$

$\Rightarrow \widehat{DBO}+\widehat{BDO}=\widehat{EDC}+\widehat{BDO}=90^o$

$\widehat{BOD}=90^o$

$\Rightarrow CD\bot BK$ (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra $\Delta BCK$ có 3 đường cao $KA,BF,CD$

$\Rightarrow AM,BF,CD$ đồng quy tại trực tâm $\Delta BCK$ (đpcm)