Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\vec{BC}=(-3, -5)$ là vector chỉ phương của $BC$
$\to$Phương trình tham số của $BC$ là:
$\begin{cases} x=4-3t\\ y=2-5t\end{cases}$

b.Phương trình tổng quát của $AC$ là:

$\dfrac{x-1}{-2-1}=\dfrac{y+3}{1+3}$

$\to y=-\dfrac43x-\dfrac53$

Ta có $AH\perp BC\to \vec{BC}=(-3, -5)$  là vector pháp tuyến của đường cao $AH$

$\to$Phương trình $AH$ là:

$-3(x+2)-5(y-1)=0\to 3x+5y+1=0$

Ta có $M$ là trung điểm $BC\to M(\dfrac52, -\dfrac12)$

$\to$Phương trình $AM$ là:

$\dfrac{x+2}{\dfrac52+2}=\dfrac{y-1}{-\dfrac12-1}$

$\to y=-\dfrac13x+\dfrac13$

c.Ta có $AH\perp BC,H\in BC$

Vì phương trình $BC$ là:

$\begin{cases} x=4-3t\\ y=2-5t\end{cases}$

$\to 5x-3y=5(4-3t)-3(2-5t)=14$

$\to$Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases} 3x+5y+1=0\\ 5x-3y=14\end{cases}$

$\to H(\dfrac{67}{34}, -\dfrac{47}{34})$

Ta có $(\Delta)\perp AC\to \vec{AC}=(3 ,-4)$ là vector pháp tuyến của $(\Delta)$

$\to$Phương trình $(\Delta)$ là:

$3(x-\dfrac{67}{34})-4(y+\dfrac{47}{34})=0$

$\to 3x-4y-\dfrac{389}{34}=0$

d.Gọi $(d)$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $AC$

$\to \vec{AC}=(3, -4)$ là vector pháp tuyến của $(d)$

$\to $Phương trình $(d)$ là:

$3(x-\dfrac52)-4(y+\dfrac12)=0$

$\to 3x-4y-\dfrac{19}{2}=0$

Gọi $I$ là giao của $(d)$ và $AC$

$\to$Tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}3x-4y-\dfrac{19}{2}=0\\ y=-\dfrac43x-\dfrac53\end{cases}$

$\to I(\dfrac{17}{50}, -\dfrac{53}{25})$

Vì $H'$ đối xứng với $M$ qua $AC$

$\to I$ là trung điểm $H'M$

$\to H'(-\dfrac{91}{50}, -\dfrac{187}{50})$