Đáp án:

$A.\ \dfrac{32}{15}$

Giải thích các bước giải:

$f'(x) =4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$

$g'(x) = 3mx^2 + 2nx + p$

Do đồ thị hàm số $y= f'(x)$ và $y = g'(x)$ đều đi qua gốc tọa độ

nên $d = p = 0$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị $y = f'(x)$ và $y = g'(x):$

$4ax^3 + 3(b-m)x^2 + 2(c-n)x = 0\quad (*)$

Dựa vào đồ thị hai hàm số đã cho ta được: $x = 0;\ x = 1;\ x = 2$ là `3` hoành độ giao điểm

$\Rightarrow x = 0;\ x = 1;\ x = 2$ là nghiệm của $(*)$

Ta được:

$\begin{cases}4a + 3(b-m) + 2(c-n) = 0\\32a + 12(b-m) + 4(c-n) = 0\end{cases}$

Bên cạnh đó, ta có:

$\quad \displaystyle\int\limits_0^2\bigg|f'(x) - g'(x)\bigg|dx = 4$

$\Leftrightarrow -\displaystyle\int\limits_0^1\bigg(f'(x) - g'(x)\bigg)dx + \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(f'(x) - g'(x)\bigg)dx = 4$

$\Leftrightarrow  - \left(ax^4+ (b-m)x^3 + (c-n)x^2\right)\Bigg|_0^1 + \left(ax^4+ (b-m)x^3 + (c-n)x^2\right)\Bigg|_1^2 = 4$

$\Leftrightarrow 14a + 6(b-m) + 2(c-n) = 4$

Ta được hệ phương trình:

$\begin{cases}4a + 3(b-m) + 2(c-n) = 0\\32a + 12(b-m) + 4(c-n) = 0\\14a + 6(b-m) + 2(c-n) = 4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = -2\\b - m = 8\\c - n = -8\end{cases}$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $y = f(x)$ và $y = g(x):$

$\quad ax^4 + (b-m)x^3 + (c-n)x^2+ (d-p)x + e - q = 0$

$\Leftrightarrow -2x^4 + 8x^3 - 8x^2 + e - q = 0\quad (**)$

Ta lại có: $f(1) = g(1) - 2$

$\Leftrightarrow a + b + c + d + e = m + n +p + q - 2$

$\Leftrightarrow a + (b-m) + (c-n) + (d-p) + e - q = -2$

$\Leftrightarrow -2 + 8 - 8 + 0 + e - q = -2$

$\Leftrightarrow e - q = 0$

Ta được:  $(**)\Leftrightarrow -2x^4 + 8x^3 - 8x^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$ và $y = g(x):$

$\quad S = \displaystyle\int\limits_0^2\bigg|f(x) - g(x)\bigg|dx$

$\Leftrightarrow S = \displaystyle\int\limits_0^2\bigg|-2x^4 + 8x^3 - 8x^2\bigg|dx$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{32}{15}$