`\forall a;b \ge 0` thì ta có :

`(a-b)^2 \ge 0`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 \ge 0`

`<=> a^2 + b^2 \ge 2ab`

`<=> a^2 + b^2 + 2ab \ge 4ab`

`<=> (a+b)^2 \ge 4ab`

`<=> (a+b)/4 \ge (ab)/(a+b) (1)`

Chứng minh tương tự ta được :

`(b+c)/4 \ge (bc)/(b+c) (2)`

`(a+c)/4 \ge (ac)/(a+c)  (3)`

Cộng các vế tương ứng của `(1) ; (2) ; (3)` ta được :

 `(a+b)/4 + (b+c)/4 + (a+c)/4 \ge (ab)/(a+b) + (bc)/(b+c)  + (ac)/(a+c)`

`<=> (2 (a+b+c))/4 \ge (ab)/(a+b) + (bc)/(b+c)  + (ac)/(a+c)`

`<=> (a+b+c)/2 \ge (ab)/(a+b) + (bc)/(b+c)  + (ac)/(a+c)`

Vậy với `a;b;c \ge 0` thì ta có `(a+b+c)/2 \ge (ab)/(a+b) + (bc)/(b+c)  + (ac)/(a+c)`

 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `2` số `a, b>=0` ta được:

   `a+b>=2sqrt{ab}`

`=>(a+b)^2>=(2sqrt{ab})^2`

`<=>(a+b)(a+b)>=4ab`

`<=>(a+b)/4>=(ab)/(a+b)`           `(1)`

 Tương tự chứng minh được:

 `(b+c)/4>=(bc)/(b+c)`                  `(2)`

 `(c+a)/4>=(ca)/(c+a)`                   `(3)`

 Cộng `(1)` với `(2)` với `(3)` vế theo vế ta được:

 `(ab)/(a+b)+(bc)/(b+c)+(ca)/(c+a)<=(a+b)/4+(b+c)/4+(c+a)/4`

`<=>(ab)/(a+b)+(bc)/(b+c)+(ca)/(c+a)<=(a+b+b+c+c+a)/4`

`<=>``(ab)/(a+b)+(bc)/(b+c)+(ca)/(c+a)<=(2(a+b+c))/4`

`<=>``(ab)/(a+b)+(bc)/(b+c)+(ca)/(c+a)<=(a+b+c)/2`

 Dấu `""=""` xảy ra khi: 

 $\begin{cases} a, b, c\ge0\\a=b\\b=c\\a=c \end{cases}$ `=>a=b=c`

 Vậy `(ab)/(a+b)+(bc)/(b+c)+(ca)/(c+a)<=(a+b+c)/2` khi `a, b, c>0` và `a=b=c`