a) $\Delta SAB$ có $SA=SB=a$ và $\widehat{ASB}=60^o\Rightarrow\Delta SAB$ đều nên $AB=a$

$\Delta SBA$ có $\widehat{BSC}=90^o\Rightarrow\Delta SBC\bot S$

$\Rightarrow BC^2=SB^2+SC^2=2a^2$ (Pi-ta-go)

Áp dụng định lý cosin vào $\Delta SAC:$

$AC^2=SA^2+SC^2-SA.SC.\cos\widehat{CSA}$

$=a^2+a^2-2.a.a.\cos120^o=3a^2$

$\Delta ABC$ có: $AC^2=3a^2=2a^2+a^2=BC^2+AB^2$

Vậy $\Delta ABC\bot B$ (Pi-ta-go đảo)

b) $\Delta SAC$ cân đỉnh S có $SH\bot AC$ (1) nên $SH$ cũng là đường trung tuyến

Áp dụng công thức đường trung tuyến:

$SH^2=\dfrac{2(SA^2+SC^2)-AC^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}$

$H$ là trung điểm của $AC$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow HI$ là đường trung bình của $\Delta ABC\Rightarrow HI=\dfrac{a}{2},HI^2=\dfrac{a^2}{4}$

$SI$ là đường trung tuyến $\Delta ABC:$

$SI^2=\dfrac{2(SB^2+SC^2)-BC^2}{4}=\dfrac{a^2}{2}$

$\Delta SHI$ có: $SI^2=SH^2+HI^2\Rightarrow \Delta SHI\bot H$ (Pi-ta-go đảo)

$\Rightarrow SH\bot HI$ (2)

Từ (1), (2) và $AC,HI\subset(ABC)\Rightarrow SH\bot(ABC)$

c) Do $SH\bot (ABC)\Rightarrow SH ⊥ AB$ và

$HM ⊥ AB$ nên $AB ⊥ (SMH)$ 

$HK\subset(SHM)\Rightarrow AB ⊥ HK$

lại có $HK\bot SM,AB,SM\subset(SAB)$

$\Rightarrow HK ⊥ (SAB) $

Do HM// BC và H là trung điểm AC nên HM là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow  HM =\dfrac{ BC}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta SHM \bot H$ có: $HK \bot SM,HK$ là đường cao, theo hệ thức lượng ta có:

$  \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HM^2}= \dfrac{6}{a^2}$ 

$\Rightarrow HK = \dfrac{a}{\sqrt 6 }$.