a) Áp dụng ĐL Pytago vào $\triangle ABC$ có:

       `BC^2 = AB^2 + AC^2`

`=> BC^2 = 30^2 + 40^2 = 2500`

`=> BC = \sqrt2500 = 50` (cm)

$\triangle ABC$ vuông tại A có AE là đường trung tuyến 

`=> AE = 1/2 BC = 1/2 . 50 = 25` (cm)

b) Vì điểm D đối xứng với E qua I

`=>` I là trung điểm của DE

Xét tứ giác AECD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I

`=>` Tứ giác AECD là hình bình hành

Xét $\triangle ABC$ có: $\begin{cases} AI = CI(gt)\\BE=CE(gt) \end{cases}$

`=>` IE là đường trung bình của $\triangle ABC$

`=>` $IE//AB$

mà `AB ⊥ AC ⇒ IE ⊥ AC`

hay `DE ⊥ AC`

`=> Tứ giác AECD là hình thoi

c) Vì $AB//ED$ `=> \hat{ABK} = \hat{EKB}` (2 góc so le trong)

mà `\hat{ABK}=\hat{CBK}` (BK là phân giác của `\hat{B}`)

`=> \hat{EKB} = \hat{CBK}`  (1)

`=>` $\triangle BEK$ cân tại E `=> EB = EK`

mà: `EB=EC => EK = EC`

`=>` $\triangle EKC$ cân tại E `=> \hat{EKC}=\hat{ECK}`  (2)

Từ (1) và (2) `=> \hat{EKB} + \hat{EKC} = \hat{CBK} + \hat{ECK}`

`=> \hat{BKC} = \hat{CBK} + \hat{ECK}`

Lại có: `\hat{BKC} + \hat{CBK} + \hat{ECK} =180^o` (địnhlý tổng 3 góc trong tam guiác)

`=> \hat{BKC} = 90^o`

`=>` $\triangle BKC$ vuông tại K (đpcm)