`1.` Xét `ΔABC` có:`M` là trung điểm của `AB`, `N` là trung điểm của `BC`

`=>MN` là đường trung bình của `ΔABC`.

`=>MN=1/2AC(1)`

Chứng minh tương tự ta có:`NP=1/2BD(2);QM=1/2BD(3);PQ=1/2AC(4)`

Ta cũng có:`AC=BC9=(` giả thiết `)(5)`

Từ `(1);(2);(3);(4);(5)` ta suy ra.

`MN=NP=PQ=QM(đpcm)`

`2.` Tứ giác `MNPQ` có:`MN=NP=PQ=QM(cmt)`

`=>MNPQ` là hình thoi `(` tứ giác có `4` cạnh bằng nhau `)(đpcm)`

`a)`

xét `ΔABC` có

`AM=MB (g t)`

`BN=NC (g t)`

`=>MN` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó `MN=1/2 AC(1)`

xét `ΔBCD` có

`BN=NC (g t)`

`CP=PD (g t)`

`=> NP` là đường trung bình của `ΔBCD`

do đó `NP=1/2 BD (2)`

xét `ΔACD` có

`CP=PD (g t)`

`AQ=QD (g t)`

`=>PQ` là đường trung bình của `ΔACD` 

do đó `PQ=1/2 AC(3)`

xét `ΔABD` có

`AM=MB (g t)`

`AQ=QD (g t)`

`=>QM` là đường trung bình của `ΔABD`

do đó `QM=1/2 BD (4)`

mà `AC=BD (g t) (5)`

từ `(1);(2);(3);(4);(5)` suy ra `MN=NP=PQ=QM`

`b)`

xét tứ giác `MNPQ ` có 

`MN=NP=PQ=QM (cm` câu `a)`

`=>MNPQ` là hình thoi