`a)`

Xét `ΔABC` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔABC` vuông tại `C`

`⇒AC⊥BC`

Mà `D∈BC`

`⇒AC⊥BD`

Ta có:`hat{BAD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔBAD` vuông tại `A`

Xét `ΔBAD` vuông tại `A` và `AC` là đường cao ta có:

                          `BC.BD=AB²`(hệ  thức lượng)

                     `⇒BC.BD=(2R)²`

                     `⇒BC.BD=4R²(đpcm)`

`b)`

Ta có:`AC⊥BD(cmt)`

`⇒hat{ACD}=90^o`

`⇒ΔACD` vuông tại `C`

Xét `ΔACD` vuông tại `C` có `CI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AD` nên ta có:

                                                         `CI=1/2AD`

Mà `AI=1/2AD(I` là trung điểm của `AD)`

`⇒CI=AI`

Xét `ΔOCI` và `ΔOAI` có:

         `CI=AI(cmt)`

         `OC=OA=R`

         `OI:chung`

`⇒ΔOCI=ΔOAI(c.c.c)`

`⇒hat{OCI}=hat{OAI}(2` góc tương ứng)

Mà `hat{OAI}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒hat{OCI}=90^o`

`⇒IC⊥OC`

`⇒IC` là tiếp tuyến của nửa đường tròn `(O)(đpcm)`

.