Đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{A_{\max }} = 8\\
{A_{\min }} =  - 2
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Đặt \(\begin{array}{l}
t = \frac{{8x + 14}}{{{x^2} + 2x + 2}}\\
 \Rightarrow t\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 8x + 14\\
 \Leftrightarrow t{x^2} + 2\left( {t - 4} \right)x + \left( {2t - 14} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

Để A có GTLN và GTNN thì phải có nghiệm x thỏa mãn hay phương trình (1) phải có nghiệm.

Nếu t=0 thì phương trình (1) trở thành:

\(8x + 14 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{7}{4}\)

Nếu \(t \ne 0\) thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
Δ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} - t.\left( {2t - 14} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 16 - 2{t^2} + 14t \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - {t^2} + 6t + 16 \ge 0\\
 \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 16 \le 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 \le t \le 8\\
 \Leftrightarrow  - 2 \le A \le 8\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{A_{\max }} = 8\\
{A_{\min }} =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)