Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ Ta$ $có$ $:$ $G( \frac{5}{3};0)$ $là$ $trọng$ $ tâm$ $ tam $ $giác $ $ACO$ $ ⇔$ $\left \{ {{\frac{x_{A} + x_{C}+0 }{3} =\frac{5}{3}} \atop {\frac{y_{a}+y_{c}}{3} }=0} \right.$ ⇔$\left \{ {{x_{a}+x_{c}=5} \atop {y_{a}+y_{c}=0}} \right.$ $(1)$ $Mà$ $M(1;2)$ $là$ $trung$ $điểm$ $ của$$ AB$$ ⇔$$\left \{ {{x_{a}+x_{b}=2} \atop {y_{a}+y_{b}=4}} \right.$$(2)$. $Từ$ $(1)$ $(2)$ ⇔ $\left \{ {{x_{c}-x_{b}=3} \atop {y_{c}-y_{b}=-4}} \right.$ $ Có AB=2BC$ ⇔$\sqrt{(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}$ =$2$$\sqrt{(x_{c}-x_{b})^{2}+(y_{c}-y_{b})^{2}}$ 

$ Hình$ $ như $ $là $ $thiếu $ $dữ $ $kiện $ $hay $ $sao$ $ á $ $ms $ $nghĩ $ $đc $ $chừng $  $này$ $hoy$

Gọi H là hình chiếu của G lên AB và K là trung điểm CD nên ta đặt 

$BC=3a>0\Rightarrow AB=6a, GH=\dfrac{2}{3}AD=2a, HM=a$

$MG^2=GH^2+HM^2=4a^2+a^2\Leftrightarrow 5a^2=\dfrac{40}{9}\Leftrightarrow a=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Suy ra $AM = 3a = 2\sqrt 2 , AG = \dfrac{2}{3}AK = \dfrac{2}{3}\left( {3a\sqrt 2 } \right) = \dfrac{8}{3}$

Gọi $A(x;y)$. Khi đó ta có các phương trình đường tròn đi qua có tâm G và đi qua A và đường tròn có tâm M và đi qua A là:

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AM = 2\sqrt 2 }\\ {AG = \dfrac{8}{3}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - y} \right)}^2} = 8}\\ {{{\left( {\dfrac{5}{3} - x} \right)}^2} + {y^2} = \dfrac{{64}}{9}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 3}\\ {x = 3y - 1} \end{array}} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3y - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0}\\ {y = \dfrac{8}{5}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x =  - 1,y = 0}\\ {x = \dfrac{{19}}{5},y = \dfrac{8}{5}} \end{array}} \right. \end{array}$

Nếu $A(-1;0)$ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AM nên ta có phương trình đường thẳng AD là $x+y+1=0$
Nếu $A(\dfrac{19}{5};\dfrac{8}{5})$ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AM nên ta có phương trình đường thẳng AD: $7x-y-25=0$.