\(\begin{array}{l}
\quad y = f(x) = x^4 - 2x^2 - 1\quad (C)\\
a)\\
+)\quad TXĐ: D = \Bbb R\\
+)\quad \text{Sự biến thiên:}\\
\bullet \lim\limits_{x\to \pm \infty}y = +\infty\\
\Rightarrow \text{Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang}\\
\bullet \quad y' = f'(x)=4x^3 - 4x\\
y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x= -1\\x =0\\x = 1\end{array}\right.\\
\text{- Hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$}\\
\text{- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$}\\
\bullet \quad y'' = f''(x)=12x^2 - 4\\
\star\quad f''(-1) = f''(1) = 8 >0\Rightarrow f(-1) = f(1) = -2\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $x= \pm 1;\ y_{CT} = -2$}\\
\star\quad f''(0) = -4 <0\Rightarrow f(0) = -1\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\ y_{CĐ} = -1$}\\
\bullet\quad \text{Bảng biến thiên:}\\
\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + & 0 & - & &0& + &\\
\hline
&+\infty&&&&&-1&&&&&-\infty\\
y & &\searrow& &&\nearrow & &\searrow& & &\nearrow\\
&&&-2&&&&&&-2\\
\hline
\end{array}\\
+)\quad \text{Đồ thị:}\\
\bullet\quad \text{Bảng giá trị:}\\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x&-2&-1&0&1&2\\
\hline
y&7&-2&-1&-2&7\\
\hline
\end{array}\\
\bullet\quad \text{Giao với các trục tọa độ:}\\
\text{- Đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại $\left(-\sqrt{1+\sqrt2};0\right)$ và $\left(\sqrt{1+\sqrt2};0\right)$}\\
\text{- Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại $(0;-1)$}\\
\bullet\quad \text{Điểm uốn:}\\
y'' = 0\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt3}{3}\\
\Rightarrow \text{Đồ thị hàm số nhận $U_1\left(-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{14}{9}\right)$ và $U_2\left(\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{14}{9}\right)$ làm hai điểm uốn}\\
\bullet \text{Đồ thị:}\\
\text{(Hình bên dưới)}\\
+)\quad \text{Kết luận:}\\
\text{Đồ thị hàm số nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng}\\
b)\\
\text{Dựa vào câu a, ta được:}\\
\text{$(C)$ cắt $Ox$ tại hai điểm}\\
\left(-\sqrt{1+\sqrt2};0\right)\ \text{và} \left(\sqrt{1+\sqrt2};0\right)\\
c)\\
\quad -2x^4 + 4x^2 + m =0 \\
\Leftrightarrow x^4 - 2x^2 - 1 = \dfrac{-m-2}{2}\quad (*)\\
(*)\ \text{là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C)$}\\
\text{và đường thẳng $d = \dfrac{-m-2}{2}$}\\
\text{Số giao điểm giữa hai đồ thị đúng bằng số nghiệm của phương trình}\\
\text{Dựa vào bảng biến thiên, ta được:}\\
+)\quad \text{Phương trình có 2 nghiệm phân biệt}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-m-2}{2} > -1\\
\Leftrightarrow - m - 2 > -2\\
\Leftrightarrow m < 0\\
+)\quad \text{Phương trình có 3 nghiệm}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-m-2}{2} = - 1\\
\Leftrightarrow m = 0\\
+) \quad \text{Phương trình có 4 nghiệm phân biệt}\\
\Leftrightarrow -2 < \dfrac{-m-2}{2} < -1\\
\Leftrightarrow -4 < -m -2 < -2\\
\Leftrightarrow 0 < m < 2\\
+)\quad \text{Phương trình có hai nghiệm}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-m-2}{2} = -2\\
\Leftrightarrow m = 2\\
+)\quad \text{Phương trình vô nghiệm}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-m-2}{2} < -2\\
\Leftrightarrow m > 2\\
d)\\
\quad 2f(x) + 1 =0\\
\Leftrightarrow f(x) = -\dfrac12\qquad (**)\\
(**)\ \text{là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C)$}\\
\text{và đường thẳng $d = -\dfrac{1}{2}$}\\
\text{Số giao điểm giữa hai đồ thị đúng bằng số nghiệm của phương trình}\\
\text{Dựa vào bảng biến thiên, ta được:}\\
\quad - \dfrac12 > -1 \Leftrightarrow -\dfrac12 > \max y\\
\text{Do đó $(d)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt}\\
\Leftrightarrow \text{$(**)$ có 2 nghiệm phân biệt}\\
\text{Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm}
\end{array}\)