Đáp án:

$B.\ \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\triangle ABC$ cân tại $B\ (AB = BC = a)$

Lại có:

$\widehat{ABC}= 60^\circ$

$\Rightarrow ∆ABC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow S_{ABCD}= \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}CM\perp AB\\CM =\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$

Lại có: $CM\perp SA \quad (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CM\perp (SAB)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAB))}=\widehat{CMS}= 45^\circ$

$\Rightarrow SC = CM\sqrt2 = \dfrac{a\sqrt6}{2}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow SA =\sqrt{SC^2 - AC^2}=\sqrt{\dfrac{6a^2}{4} - a^2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Khi đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13SA.S_{ABCD}=\dfrac13\cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}= \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$