Giải thích các bước giải:

1) Vì $MC$ là đường kính của (O)$\rightarrow\widehat{MDC}=90^o$

$\rightarrow\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc bằng $90^o$

$\rightarrow\Diamond ABCD$ nội tiếp

2)

Tứ giác $MDSC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$

nên $\widehat{MDS}+\widehat{MCS}=180^o$ (hai góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{MDS}=180^o$ (kề bù)

$\Rightarrow\widehat{MCS}=\widehat{ADB}$

mà $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB của tứ giác nội tiếp (ABCD))

$\Rightarrow\widehat{MCS}=\widehat{ACB}$

$\rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{SCB}$

3) Gọi $BA\cap CD=F\rightarrow M$ là trực tâm $\Delta FBC$ $(\text{vì }BD\perp CF, CA\perp AB)$

$\Rightarrow FM\bot BC$

Mà $ \widehat{MEC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$ME\bot BC$

$\Rightarrow F,M,E$ thẳng hàng

$\rightarrow AB, CD, ME$ đồng quy

4) Tứ giác nội tiếp $ABCD$ có:

$\widehat{ADM}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Đường tròn $(O)$ có:

$\widehat{ACB}=\widehat{MDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME)

$\rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{MDE}\to DM$ là phân giác $\widehat{ADE}$

5) Ta có : 

$\widehat{CEM}=\widehat{CAB}=90^o\rightarrow \Diamond AMEB$ nội tiếp

$\rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{DBC}=\widehat{MAE}\rightarrow AM$ là phân giác $\widehat{EAD}$

Và $DM$ là phân giác $\widehat{ADE}$ (cmt)

$\rightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ADE$.