a) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow \Delta ABC\bot A$

$\Delta ABO$ đều $\Rightarrow \widehat {ABC}=\widehat{ABO}=60^o$

$\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-60^o=30^o$

b) Xét $\Delta$ vuông $BDO$ và $\Delta$ vuông $ EDO$ có:

$OD$ chung

$OB=OE$

$\Rightarrow \Delta$ vuông $BDO=$$\Delta$ vuông $ EDO$

$\Rightarrow \widehat{BOD}=\widehat{EOD}$

$\Rightarrow OD$ là phân giác của $\Delta $ cân $BOE$

$\Rightarrow OD$ cũng là đường cao $\Rightarrow OD\bot BE$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BDO$ và $\Delta$ vuông $ BDC$ ta có:

$DB^2=DI.DO$

Và $BD^2=DA.DC$

$\Rightarrow DI.DO=DA.DC$

c) $EG\parallel DB$ ($\bot BC$)

$\Rightarrow \dfrac{EG}{DB}=\dfrac{KE}{KB}=\dfrac{KG}{KD}$ (*)

$GH\parallel BD$

$\Rightarrow \dfrac{GH}{DB}=\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CG}{CD}$ (**)

Gọi $K=DC\cap BE$

$\widehat{DBE}=\widehat{BEH}$ (cùng phụ $\widehat{EBH}$)

Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DEB}$ ($\Delta DBE$ cân đỉnh $D$)

$\Rightarrow \widehat{BEH}=\widehat{DEB}$

$\Rightarrow EK$ là phân giác $\widehat{DEG}$ của $\Delta DEG$

$\Rightarrow \dfrac{DE}{EG}=\dfrac{DK}{KG}$ (1)

Mà $EK\bot EC$ ($\Delta BEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$)

$\Rightarrow EC$ là phân giác ngoài của $\widehat{DEG}$

$\Rightarrow \dfrac{DE}{EG}=\dfrac{DC}{GC}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{DK}{KG}=\dfrac{DC}{GC}$

$\Rightarrow \dfrac{KG}{KD}=\dfrac{CG}{CD}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra $\dfrac{EG}{DB}=\dfrac{GH}{DB}$

$\Rightarrow EG=GH\Rightarrow G$ là trung điểm của $EH$

$I$ là trung điểm của $BE$

$\Rightarrow IG$ là đường trung bình $\Delta BEH$

$\Rightarrow IG\parallel BH$

$\Rightarrow IG\parallel BC$ (đpcm).