a)

Chứng minh I là trung điểm của AB thì $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$?

Cho đoạn AB có I là trung điểm của đoạn AB suy ra IA=IB và tia IA và tia IB là hai tia đối nhau

nên $\vec {IA}$ và $\vec {IB}$ là hai vec tơ đối nhau,

suy ra $\vec{IA}=-\vec{IB}$

$\Rightarrow\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0$ (đpcm)

Ngược lại chứng minh nếu $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$ thì $I$ là trung điểm của AB?

Ta có $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0\Rightarrow\vec{IA}=-\vec{IB}\Rightarrow\vec {IA}$ và $\vec{IB}$ là hai vec tơ đối nhau nên IA=IB và I nằm giữa A và B

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AB (đpcm).

b)

Chứng minh $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ thì $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$?

Xét $\Delta ABC$ có $AI$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm, $D$ đối xứng với $A$ qua $G$

Tứ giác $BGCD$ có hai đường chéo $BC, GD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $BGCD$ là hình bình hành

$\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)

$\vec{GA}+\vec{GD}=\vec0$ (do D đối xứng với A qua G hay G là trung điểm của AD) (2)

Cộng hai vế của phương trình (1) với $\vec{GA}$, sau đó sử dụng (2)

$\Rightarrow \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0$ (đpcm)

Ngược lại:

Chứng minh nếu $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$?

Xét $\Delta ABC$, vẽ hình bình hành $BGCD$, gọi $BC\cap GD$ tại $I\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo. Hay I là trung điểm của GD, $GD=2GI$ (*)

Ta có: $\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)

Lại có $\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec 0$ (giả thiết) (2)

Thay (1) vào (2) $\Rightarrow\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0\Rightarrow G$ là trung điểm của AD, AG=GD (**)

Từ (*) và (**) $AG=2GI$, G là trung điểm của AD nên G chia AD thành hai đoạn bằng nhau AG, GD, $I\in GD$ nên $I$ không thuộc AG

$\Rightarrow AG=2GI$ thì G nằm giữa AI

$\Rightarrow  AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm (vì I là trung điểm của BC nên AI là trung tuyến cm ở (*)) (đpcm)