Đáp án:

 $8$ nghiệm

Giải thích các bước giải:

Ta có:

Dựa vào đồ thị ta thấy:

$\begin{array}{l}
\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{3}{2}\\
f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x = {a_1},{a_1} \in \left( { - 2;0} \right)\\
{x^3} - 3x = {a_2},{a_2} \in \left( {0;2} \right)\\
{x^3} - 3x = {a_3},{a_3} \in \left( {2; + \infty } \right)\\
{x^3} - 3x = {a_4},{a_4} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Ta có đồ thị của hàm số $y=x^3-3x$ và sự tương giao giữa đồ thị $y=x^3-3x$ với các đường $y=a_1;y=a_2;y=a_3;y=a_4$ như hình dưới

Dựa vào đồ thị ta có:

Tổng số nghiệm của phương trình ban đầu là: $1+3+3+1=8$