Đáp án: $\text{ Câu 27: B}$

              $\text{ Câu 28: A}$

              $\text{ Câu 29: C}$

Giải thích các bước giải:

Câu 27: $I=\int\limits^1_0 {f(2x-1)} \, dx$ 

$\text{ Đầu tiên, thì bạn phải đặt 2x -1 = t }$

$\text{Vì đặt theo t(tức là chuyển cả cụm từ ẩn này sang ẩn khác, hay là từ ẩn x sang t),}$

$\text{nên cận cũng phải đổi theo t(chuyển từ 2x-1 sang t; => Đổi cận: }$

$\text{        x         t}$

$\text{        1      1.1-1=1       => t=1}$

$\text{        0      1.0-1 = -1    => t= -1}$

$\text{Vậy từ đó}$ $I=\int\limits^1_0 {f(2x-1)} \, dx=$ $I=\int\limits^1_{-1} {f(t)} \, dx$  

$\text{Thế nhưng I vẫn chưa hẳn chuyển hết về t vì vẫn còn sót lại dx}$

$\text{=> Thế nên, ta còn phải vi phân vai vế(mục đích để từ dx -> dt):}$

$2x-1 = t$

$=> (2x-1)'dx = t'dt$

$<=> 2dx = dt$

$<=> dx = \dfrac{dt}{2}$ 

$\text{Từ đó =>}$ $I=\int\limits^1_{-1} {f(t)} \, dx=\int\limits^1_{-1} {f(t)} \, \dfrac{dt}{2}$

$\text{Ta có tính chất:}$

$I=\int\limits^a_b {f(x)} \, dx=\int\limits^a_b {f(t)} \, dt=\int\limits^a_b {f(g)} \, dg=\int\limits^a_b {f(k)} \, dk=...$ 

$\text{(tức là nguyên hàm có thể chuyển từ ẩn này thành ẩn khác, giống như kiểu}$

$\text{thay lõi nhưng vẫn cùng cấu trúc, chỉ đổi mỗi chữ cái từ x thành g hay t, k, ..v..v, còn}$

$\text{tính chất không thay đổi)}$

$\text{Từ đó: =>}$ $I=\int\limits^1_{-1} {f(t)} \, \dfrac{dt}{2}=\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, \dfrac{dx}{2}$

$\text{Mà theo đề bài, có một dữ kiện ta chưa khai thác đó là}$ $\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, dx=6$

$\text{Vậy nên ta phải biến đổi I cần tìm có chứa dữ kiện trên, tìm mối}$

$\text{ liên kết của nó, để suy ra con số cụ thể chốt đáp án}$

$I =\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, \dfrac{dx}{2}=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, dx=\dfrac{1}{2}.6=3$ 

$\text{=> Chọn B: I=3}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 28: $\text{Như bạn thấy, đề bài cho hai dữ kiện đó là đường thẳng d: x-y+1=0 và }$

$w = z^2 + 5$ $\text{là số thuần ảo}$

$\text{Đề bài yêu cầu tìm phần thực của số phức z}$

$\text{Thế nhưng, để tìm phần thực thì ta phải tìm hẳn ra z (gồm cả phần thực và phần ảo).}$

$\text{Hay nói chung quy lại, mục đích chính của chứng ta là tìm z (còn cái tìm phần thực}$

$\text{ của đề bài có vẻ như chỉ là một cách để người ra đề chống học sinh}$

$\text{thử ngược vào đáp án thôi)}$

Ta hãy thử phân tách dữ kiện $w = z^2 + 5$

$\text{Đặt số phức z = a+bi}$

$=> w = (a+bi)^2 + 5$ $\text{(đến đây thì ta cứ phá ngoặc rồi rút gọn để tìm thêm thông tin)}$

$=> w = a^2 + 2abi + (bi)^2 + 5= a^2 + 2abi + b^2 .i^2 + 5$

$=> w = a^2 + 2abi + b^2 .(-1) + 5 = a^2 + 2abi - b^2  + 5$

$=> w = (a^2 - b^2 + 5) + 2abi$

$\text{Đến đây chúng ta đã khai triển ra một số phức mới là}$ $w = (a^2 - b^2 + 5) + 2abi$

$\text{Mà như bạn đã biết, số phức bao gồm phần thực và phần ảo, trong đó phần thực}$

$\text{là phần đứng riêng rẽ, chỉ đơn giản là một số nào đó thôi, còn phần ảo bao gồm}$

$\text{một số đi kèm với chữ i)}$

$\text{=> w phần thực là}$ $(a^2 - b^2 + 5)$ $\text{và phần ảo là 2ab}$

$\text{Đề bài có nói tới w là số thuần ảo, vậy nên w chỉ chứa mỗi phần}$

$\text{ ảo thôi(phần dính liền với chữ i)}$

$\text{Giả sử ví dụ h = t + ki là số thuần ảo; => h chỉ tồn tại mỗi phần dính với i thôi (tức là ki)}$

$\text{mà h = t + ki lại có số t sau đó; chỉ để h là số thuần ảo, thì t phải bằng 0 (hay là}$

$\text{phần thực phải bằng 0) để khi đó h mới bằng ki (chỉ chứa mỗi phần dính liền với chữ i)}$

$\text{Từ đó để số phức $w = (a^2 - b^2 + 5) + 2abi$ là số thuần ảo}$

$\text{=> w chỉ có duy nhất phần dính liền với chữ i, còn phần thực (số đứng riêng}$

$\text{rẽ) phải bằng 0}$

$=> a^2 - b^2 + 5 = 0$

$\text{Giờ hãy đặt dữ kiện này là (1);}$

$\text{Chúng ta vẫn còn một sữ kiện chưa khai thác đó là : }$

$\text{Z có đường biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường thẳng d: x-y+1=0}$

$\text{Ta có z =a +bi là số phức thì điểm biểu diễn của số phức}$

$\text{ trên hệ tọa độ là (a;b) (theo lý thuyết trong sgk)}$

$\text{Vậy điểm (a;b) thuộc d: x-y+1=0}$

$\text{Thay (a;b) vào d: x-y+1=0; =>a-b+1=0}$

$\text{Gọi dữ kiện này là (2)}$

$\text{Ta đã tìm được ra hai dữ kiện (1) và (2) gồm}$

$a^2 - b^2 + 5 = 0$ $\text{và a-b+1=0}$

$\text{=> Để tìm rõ ra a và b, ta giải hệ phương trình là được (ở đây mình xin}$

$\text{ dùng phương pháp thế)}$

$\text{vì a-b+1=0; => a = b-1}$

$\text{Thay a=b-1 vào}$ $a^2 - b^2 + 5 = 0$

$=> (b-1)^2 - b^2 + 5 = 0$

$<=> b^2 - 2b + 1 - b^2 + 5 = 0;\  <=>- 2b + 1 + 5 = 0;\   <=> b = 3$

$\text{=> a = b - 1 =  3 - 1 = 2;}$

$\text{=> a = 2 và b = 3; => số phức z là 2 + 3i}$

$\text{Đề bài yêu cầu tìm phần thực của số phức z; => phần thực = 2}$

$\text{=> Chọn A}$

--------------------------------------------------------------------------

Câu 29: $\text{Gọi tâm đường tròn C (tức là phần giao giữa mặt cầu}$

$\text{và mặt phẳng theo đề bài) là O.}$

$\text{Đề bài yêu cầu tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh I (Đỉnh này lại}$

$\text{vô tình cũng là tâm của mặt cầu :)) và đáy là đường tròn C}$

$\text{Ta có công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là:}$

$\text{ S = π. R. l (với R là bán kính và l là đường sinh)}$

$\text{Gọi điểm nối từ O ra ngoài viền mặt cầu là H}$

$\text{Nhìn vào hình, ta thấy OH là bán kính đáy còn IH là đường sinh}$

$\text{Vậy mục tiêu chỉ là cần tìm OH và IH, từ đó suy ra diện tích}$

$\text{ xung quanh hình nón là xong :))}$

$\text{Mà nếu nhìn kỹ ta lại thấy IH lại là bán kính của hình cầu đã cho}$

$\text{=> Tìm R của hình cầu S:}$ $(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 12$

$\text{=> R = √12; => IH = √12}$

$\text{Mục tiêu còn lại cuối cùng của chúng ta là đi tìm OH}$

$\text{Làm thế nào để tìm OH ???}$

$\text{Chúng ta có thể gán OH vào một tam giác nào đó (vuông}$

$\text{ càng tốt), từ đó dùng các hệ thức như pitago, gây các hệ thức lượng để tìm }$

$\text{Ta dễ thấy: đó chính là tam giác IOH}$

$\text{Nhưng trong tam giác đó, chúng ta mới chỉ biết mỗi IH = √12}$

$\text{Chúng ta cần tìm thêm thông tin trong tam giác đó (có thể}$

$\text{là các góc trong tam giác đó, hoặc là cạnh IO. Tất nhiên không phải là cạnh OH}$

$\text{vì đó là cái đich đến mà chúng ta cần tìm mà, nếu biết rồi thì xét tam giác làm gì}$

$\text{nữa cho tốn thời gian :)))}$

$\text{Ta lại thấy khoảng cách từ điểm I (tâm của mặt cầu) tới mặt phẳng P lại chính là cạnh IO}$

$\text{=>Với điểm I(2;-1; 0) (lấy từ mặt cầu S) và mặt phẳng (P) 2x-y+2z+1=0}$

$\text{ta có khoảng cách là: d(I; mp(P)) =}$ $\dfrac{|2.2-(-1)+2.0+1|}{\sqrt[]{2^2+(-1)^2+2^2}}=2$ 

$\text{=> IO = 2;}$

$\text{Vậy xét tam giác vuông IOH có IO =2 và IH = √12 mà ta vừa mới tìm được:}$

$\text{theo pitago}$: $IO^2 + OH^2 = IH^2$

$<=> OH^2 = IH^2 - IO^2 = √12^2 - 2^2 = 8$

$=> OH = √8 = 2√2$

$\text{Vậy trong hình nón đã tìm được bán kính đáy là OH= 2√2 và đường sinh IH = √12}$

$\text{=> Diện tích xung quanh là: S = π.R.L = π.2√2.√12 = 4√6 π}$

$\text{=> Chọn C}$

------------------------------------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

Mình xin bonus thêm cho bạn cách giải trắc nghiệm câu 27 (cách này có thể áp dụng với mấy bài vận dung cao, phức tạp :vv )

Bài 27: (cách 2):

$\text{Như bạn đã biết f(x) nó có thể luôn là một hàm số nào đó:}$

$ax + b; ax^2 + bx + x; ax^4 + bx^7 + d; \dfrac{ax+b}{cd+d};.....$ 

$\text{Vậy thì theo mình biết hàm số đơn giản nhất là f(x) = ax + b}$

$\text{Vậy thì tại sao không thay ax+b vào f(x) trên đề bài từ đó suy ra a, b;}$

$\text{Từ đó chỉ cần lắp a, b vào cái mà người ta yêu cầu là xong}$

$\text{Từ đó ta có}$ $\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, dx=6$

$<=>\int\limits^1_{-1} {ax+b} \, dx=6$

$<=> (\dfrac{ax^2}{2}+bx)\bigg|^1_{-1}=6$ 

$<=> \dfrac{a.1^2}{2}+b.1-\bigg(\dfrac{a.(-1)^2}{2}+b.(-1)\bigg)=6$ 
$<=> \dfrac{a}{2}+b-\bigg(\dfrac{a}{2}-b\bigg)=6$ 
$<=> b = 3$
$\text{Vậy khi f(x) có dạng ax + b thì để thỏa mãn}$ $\int\limits^1_{-1} {f(x)} \, dx=6$

$\text{=> b = 3 còn a có thể là một số bất kì}$

$\text{Thử đặt bừa một số a nào đó ,giả sử a = 7 (vì không thuộc vào a nên}$

$\text{đặt a bằng mấy không quan trọng; miễn đặt là được)}$

$\text{Khi đó ta đã tìm được f(x) thỏa mãn là f(x) = 7x + 3}$

$\text{Từ đó chỉ cần thay vào cái yêu cầu người ta cần tìm là xong:}$

$I=\int\limits^1_0 {f(2x-1)} \, dx=\int\limits^1_0 {(7.(2x-1)+3)} \, dx$ 

$\text{Bấm máy, được I = 3; => Chọn B}$
--
$\text{Nói tóm lại, cách này là đặt f(x) = ax+b (hoặc là một hàm khác}$

$\text{nếu ax+b không thỏa mãn, cái này phải tùy cơ ứng biến), rồi suy}$

$\text{ra a và b; rồi thay vào cái người ta yêu cầu tìm là được}$

$\text{Vì là cách trắc nghiệm nên bạn đừng dùng cách này làm bài}$

$\text{trên lớp vì sẽ bị thầy cô chửi đó. Cách này chỉ dùng khi bạn bí}$

$\text{ý tưởng với những bài nguyên hàm thực sự phức tạp, mình vẫn}$

$\text{khuyến khích bạn dùng cách đầu tiên hơn để nắm rõ bản chất)}$
------
$\text{P/s: Chúc bạn học tốt}$