a) Ta có: M là trung điểm của AB

              N là trung điểm của AC

        ⇒   MN là đường trung trực của tam giác cân ABC.

        ⇒   MN // BC và BM = CN

        ⇒   Tứ giác MNCB là hình thang cân.

b)   Theo ý a ta có: MN là đường trung trực của tam giác ABC.

                          ⇒  MN = $\frac{BC}{2}$ (Tính chất đường trung bình)

       Lại có: MN // BC ⇒ MN // BP

                                      MN = BP

        ⇒ MNPB là hình bình hành.

        Theo tính chất hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại chung điểm mỗi đường

        ⇒ Ba điểm M, P, O thẳng hàng.

c)      Vì ABC là tam giác cân ⇒ AP ⊥ MN 

         Lại có: AM = AN

        ⇒ AMPN là hình thoi.

d)     Nếu AMPN là hình vuông 

        ⇒ AM = MP = NP = AN

            Góc MAN = Góc AMP = Góc MPN = Góc ANP = 90\deg  

        Vậy để tứ giác AMPN là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân.