Bài 7:

a. Xét ΔABD và ΔBDC có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\\
 \to \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}
\end{array}\)

⇒ ΔABD và ΔBDC đồng dạng (ccc)

b. Do ΔABD và ΔBDC đồng dạng

⇒∠ABD=∠BDC (hai góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AB//CD

⇒ Tứ giác ABCD là hình thang đáy là AB, CD.

Bài 9: 

a. Do $3MB=2MC\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{2}{3}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{MB}{MB+MC}=\dfrac{2}{2+3}\Rightarrow\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{2}{5}$

$\begin{array}{l}
MB = \dfrac{2}{5}BC = 10cm\\
MC = 25 - 10 = 15cm
\end{array}$

Xét ΔABC và ΔKMC có

∠ABC=∠KMC (hai góc ở vị trí đồng vị do KM//AB )

∠C chung

⇒ ΔABC và ΔKMC đồng dạng (gg)

$\to\dfrac{AB}{KM}=\dfrac{AC}{KC}=\dfrac{BC}{MC}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{AB}{KM}=\dfrac{AC}{KC}=\dfrac{BC}{MC}=\dfrac{AB+AC+BC}{KM+KC+MC}=\dfrac{\text{Chu vi }\Delta ABC}{30}$

$\Rightarrow \text{Chu vi }\Delta ABC=\dfrac{BC.30}{MC}=50$cm

c. Xét ΔHBM và ΔKMC có

∠HBM=∠KMC (hai góc ở vị trí đồng vị do KM//AB )

∠BMH = ∠MCK (hai góc ở vị trí đồng vị do KM//AB)

⇒ ΔHBM và ΔKMC đồng dạng (gg)

$ \to \dfrac{{HB}}{{KM}} = \dfrac{{BM}}{{MC}} \to HB.MC = BM.KM$