Lấy điểm D đối xứng với A qua điểm M

Ta xét ΔABM với ΔDCM có:    AM= DM 

                                               ∠AMB= ∠CMD 

                                                BM= CM

⇒ ΔABM = ΔDCM  ( c.g.c)

⇒ AB= DC

và ∠BAM= ∠CDM

Ta có: ∠BAM+∠MAC= 90∘

⇔ ∠CDM+∠MAC= 90∘

⇒ ∠DCA= 90∘

Xét ΔABC và ΔCDA có: AC chung

                                     ∠BAC= ∠DCA = 90∘

                                     AB= DC

⇒ ΔABC = ΔCDA ( c.g.c)

⇒ BC= AD

Mà AM= $\frac{1}{2}$.AD

⇒ AM= $\frac{1}{2}$.BC

⇒ ĐPCM

                                      

                                              

  

Nối A với E, trên AE lấy điểm D sao cho E là trung điểm của AD

Xét ΔBEA và ΔCED có"

IB=IB (GT)

E1=E2 (2 góc đối đỉnh)

IA=ID (GT)

⇒ΔBEA=ΔCED (c.g.c)

⇒AB=CD (2 cạnh tương ứng)

⇒B1=C1 (2 góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong ⇒AB//CD

và AB⊥AC ⇒DC⊥AC (định lý 2 đường thẳng song song)

-Xét ΔABC và ΔDCA có:

AC là cạnh chung

A=C=90 độ

AB=CD (cmt)

⇒ΔABC=ΔDCA (c.g.c)

⇒AD=BC (2 cạnh tương ứng)

mà EA=ED⇒AE=BC/2=EB=EC ⇒đpcm

*Hình dưới