a) $CE$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$

$\Rightarrow \widehat{OCE}=90^o$

$AE$ là tiếp tuyên đường tròn $(O)$

$\Rightarrow \widehat{OAE}=90^o$

Tứ giác $OCEA$ có

$\widehat{OCE}+\widehat{OAE}=180^o$

$\Rightarrow OCEA$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OE)$

$\Rightarrow A,E,C,O$ cùng thuộc một đường tròn

 

b) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(AB)$

$\Rightarrow \Delta ABC\bot C\Rightarrow AC\bot BD$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ ADB$ có đường cao $AC$

$\Rightarrow AB^2=BC.BD\Rightarrow BC.BD=(2R)^2=4R^2$

$EC,EA$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow EA=EC$ và $EO$ là tia phân giác $\widehat{CEA}$

$\Rightarrow \Delta ECA$ cân đỉnh $E$ có $EO$ là phân giác $EO$ cũng là đường cao

$\Rightarrow EO\bot AC$ mà $BD\bot AC$

$\Rightarrow EO\parallel BD$

 

c) $\Delta OCB$ có $OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$ cân đỉnh $O$

Có $ON$ là đường cao $\Rightarrow ON$ cũng là phân giác

$\Rightarrow \widehat{COF}=\widehat{BOF}$

$OF$ chung

$OB=OC$

$\Rightarrow \Delta OCF=\Delta OBF$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OBF}=\widehat{OCF}=90^o$

$\Rightarrow FB\bot OB$

$\Rightarrow FB$ là tiếp tuyến $(O)$

 

d) $M,N$ là trung điểm của $AC, BC\Rightarrow MN\parallel AB$

$AB\bot CH\Rightarrow MN\bot CH$ (1)

$\Delta CHB\bot H$ có $N$ là trung điểm của $CB$

$\Rightarrow HN=CN\Rightarrow \Delta CNH $ cân đỉnh $N$ mà $NM$ là đường cao của $CH$ nên $NM$ cũng là đường trung tuyến của $CH$

$\Rightarrow MN$ là đường trung trực của $CH$

$\Rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{MCN}=\widehat{MON}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{MHN}$ và $\widehat{MON}$ cùng nhìn $MN$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow MBOH$ nội tiếp đường tròn $(MN)$

$\Rightarrow \Delta MNH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(MN)$

Gọi $G=CO\cap MN\Rightarrow GO=GM=GN=GH$

$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNH$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.