a) Do AM là trung tuyến và tam giác ABC vuông tại A nên $AM = MB = MC = \dfrac{BC}{2}$.

Vậy tam giác AMB cân tại M.

Lại có $MN \perp AB$ nên $N$ là trung điểm AB.

Mặt khác, M là trung điểm BC nên MN là đường trung bình tam giác ABC.

Vậy $MN = \dfrac{1}{2} AC$ hay $AC = 2MN$.

b) Ta có MA = MC (CMT) nên tam giác ACM cân tại M. Lại có $MP \perp AC$ nên P là trung điểm AC.

Mà N là trung điểm AB nên PN là đường trung bình tam giác ABC.

Vậy $PN // BC$ và $PN = \dfrac{BC}{2} = BM$

Vậy tứ giác PNBM là hình bình hành.

c) Xét tứ giác ANMP có $\widehat{APM} = \widehat{MNA} = \widehat{NAP} = 90^{\circ}$.

Vậy tứ giác ANMP là hình chữ nhật. Mà F là giao điểm của AM và PN nên F là trung điểm AM.

Lại có E là trung điểm MB nên EF là đường trung bình tam giác AMB, vậy EF//AB.

Do đó ABEF là hình thang.

Lại có F là trung điểm AM nên $AF = \dfrac{1}{2} AM = \dfrac{1}{2} MB = EB$

Vậy ABEF là hình thang cân. (2 cạnh bên bằng nhau).

d)