a. $\Delta ABC$ có đường cao $AI, BN$ cắt nhau tại $H\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow CH\bot AB,CH$ cắt $AB$ tại $M\Rightarrow CH\bot AB$ tại $M$

Tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow\Diamond AMHN $ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$

b. Tương tự ta chứng minh được $\Diamond HMBI$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BH)$

Ta có $\widehat{ANB}=\widehat{AIB}=90^o$

$\Rightarrow N, I$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow ANIB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AB)$

$\Rightarrow\widehat{NMH}=\widehat{NAH}=\widehat{NBI}=\widehat{HMI}$

$\Rightarrow MC$ là phân giác $\widehat{NMI}$

$ H\in MC$ nên $H$ cách đều NM,NI

c. Ta có $M, N$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^o$ nên $BMNC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (cùng bù $\widehat{NMB}$)

Ta có: $\Delta AMN\sim\Delta ACB$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\cos\widehat{BAC}$

$\Rightarrow MN=BC.\cos\widehat{BAC}$

d. Gọi $AK$ là đường kính của đường tròn

$\Rightarrow BH//CK(\perp AC)$,

$BK//CH(\perp AB)$

$\Rightarrow \Diamond BHCK$ là hình bình hành
$\Rightarrow KH\cap BC=E$ là trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình $\Delta AHK\Rightarrow AH=2OE$

$\Delta AHK$ có $HO,AE$ là đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta AHK\Rightarrow \dfrac{EG}{EA}=\dfrac{1}{3}$

Kẻ $GD//AK, D\in (OE)\Rightarrow\dfrac{GD}{AO}=\dfrac{ED}{EO}=\dfrac{EG}{EA}=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow D$ cố định $GD=\dfrac{1}{3}AO=\dfrac{R}{3}=const$

$\Rightarrow G\in(D,\dfrac{R}{3})$ cố định.