Đáp án và giải thích các bước giải:

`1)` 

Đặt `S=a+b` và `P=ab`

`->` `S^{2}-4P=(a-b)^{2}>=0`

`->` `S^{2}>=4P`

Có : `16=a^{2}+b^{2}=S^{2}-2P>=S^{2}-{1}/{2}S^{2}={1}/{2}S^{2}`

`=>` `S^{2}<=32` `(1)`

`16S=(a^{2}+b^{2})(a+b)=(a^{3}+b^{3})+ab(a+b)=44+PS`

Hay `48SH=132+3PS` `(2)`

Mặt khác ta có :

`3PS=3ab(a+b)=(a+b)^{3}-(a^{3}+b^{3})=S^{3}-44` `(3)`

Từ `(2)` và `(3)`

`=>` `S^{3}-48S+88=(S-2)(S^{2}+2S-44)=0` `(4)`

Từ `(1)` có : `S^{2}<=32`

`=>` `S^{2}+2S-44<=32+8\sqrt[2]-44<8.1,5-12=0`

Kết hợp với `(4)`

`=>` `S=a+b=2` ; `P=ab=-6`

`2)`

`a^{2}+b^{2}=16` ; `a^{3}+b^{3}=44`

`->` Hiển nhiên mệnh đề đúng với `n=2` ; `n=3`

Giả sử `2<=n` `(n∈NN)`

Có : `a^{n}+b^{n}` và `a^{n+1}+b^{n+1}` cùng chia hết cho `4` `(**)`

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với `(n+2)` hay `a^{n+2}+b^{n+2}` chia hết cho `4`

Có : `2(a^{n+1}+b^{n+1})=(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})=a^{n+2}+b^{n+2}+ab(a^{n}+b^{n})`

Kết hợp `(**)`

`=>` `a^{n+2}+b^{n+2}=2(a^{n+1}+b^{n+1})-6(a^{n}+b^{n})` chia hết cho `4`

Theo nguyên lý quy nạp ta có : 

`a^{n}+b^{n}` chia hết cho `4` với mọi `2<=n` `(n∈NN)`