1. Do AB,AC là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC\rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\Diamond ABOC$ có $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau nên ABOC nội tiếp đường tròn đường kính (AO)

2. Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O) $\Rightarrow AO\perp BC\Rightarrow AB^2=AH.AO$ 

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\rightarrow AB^2=AM.AN$ 

$\Rightarrow AH.AO=AM.AN$

3. Từ câu 2 suy ra $\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AO}\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta ANO$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) (1)

$\Rightarrow MNOH$ nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NHO}$ (2)(góc nội tiếp cùng chắn cung NO của tứ giác MNOH nội tiếp) 

Mà $\widehat{NMO}=\widehat{ANO}$ (3)(do $\Delta OMN$ cân đỉnh O)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{NHO}$

Mà $\widehat{AHM}+\widehat{MHB}=\widehat{NHO}+\widehat{NHB}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NHB}\Rightarrow HB$ là phân giác $MHN$

4. Gọi $E$ là hình chiếu của M lên BC, F là giao điểm của OA với (O)

Tứ giác $MECK$ có $\widehat{MEC}+\widehat{MKC}=180^o$ nên $MECK$ nội tiếp đường tròn (MC)

$\Rightarrow\widehat{MCK}=\widehat{MEK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MK)

Tương tự $MIBE$ nội tiếp $\Rightarrow\widehat{MBE}=\widehat{MIE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME của đường tròn đường kính (BM))

Mà $\widehat{MCK}=\widehat{MBE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MC của (O))

Từ ba điều trên suy ra $\widehat{MEK}=\widehat{MIE}$

Chứng minh tương tự $\widehat{MKE}=\widehat{MEI}$ $(=\widehat{MCE}=\widehat{MBI})$

$\Rightarrow\Delta MEK\sim\Delta MIE$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{MK}{ME}=\dfrac{ME}{MI}$

$\Rightarrow MI.MK=ME^2\le FH^2$

Ta có: $OB^2=OH.OA$ $(\Delta ABO\bot B, BH\bot AO)$

$\Rightarrow OH=\dfrac{OB^2}{OA}=\dfrac{R^2}{3R}=\dfrac{R}{3}$

$\Rightarrow FH=OF-OH=R-\dfrac R3=\dfrac23.R$

$\Rightarrow MI.MK\le\dfrac49.R^2$

Vậy GTLN$MI.MK=\dfrac49.R^2$ khi $M\equiv F$ hay cát tuyến $AMN$ đi qua O.