Đáp án: $\int\limits^2_0 {f(2x)} \, dx=8$ 

Giải thích các bước giải:

$\text{ Cách 1: Tự luận }$

$\text{Đặt 2x = t}$

$\text{Vi phân hai vế: => 2dx = dt}$

`<=> dx = dt/2;`

$\text{Vì chuyển biến x theo t nên ta cũng phải đổi cận:}$

$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{x}&\text{t}\\\hline  \text{2}&\text{2x=2.2=4}\\\hline \text{0}&\text{2x=2.0=0}\\\hline\end{array}$

$\int\limits^2_0 {f(2x)} \, dx=\int\limits^4_0 {f(t)} \, \dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{2}\int\limits^4_0 {f(t)} \, dt$  
$\text{Vì f(x)dx = f(t)dt  theo tính chất nên}$
$=>$ $\dfrac{1}{2}\int\limits^4_0 {f(t)} \, dt=\dfrac{1}{2}\int\limits^4_0 {f(x)} \, dx=\dfrac{1}{2}.16=8$  
`Vậy` $\int\limits^2_0 {f(2x)} \, dx=8$

---------------------------------------------------------------------------------------

$\text{Cách 2 Bấm máy (CASIO)}$

$\text{Vì f(x) có thể là bất cứ một hàm số nào đó nên hãy đặt nó về dạng}$

$\text{hàm số dễ nhất (hay còn gọi là dùng chuẩn hóa số liệu)}$

$\text{Một dạng hàm số khá quen thuộc mà chúng ta đều biết là f(x) = ax+b}$

`Vậy` $\int\limits^4_0 {f(x)} \, dx=\int\limits^4_0 {ax+b} \, dx=\bigg(\dfrac{ax^2}{2}+bx\bigg)\bigg|^4_0=$

$\bigg(\dfrac{a.4^2}{2}+4b\bigg)-\bigg(\dfrac{a.0^2}{2}+b.0\bigg)=8a+4b$ 

$\text{Mà theo bài ra}$ $\int\limits^4_0 {f(x)} \, dx=16$

`=> 8a+4b = 16`
$\text{Thử đặt}$ `a = 1; => 4b = 16-8a = 16-8.1=8; => b = 2`
$\text{Vậy ta có hàm f(x) = x + 2 thỏa mãn}$ $\int\limits^4_0 {f(x)} \, dx=16$

$\text{=>  Việc còn lại đơn giản là thay f(x) vào yêu cầu bài toán là xong}$
$\int\limits^2_0 {f(2x)} \, dx=\int\limits^2_0 {2x+2} \, dx=8$

`8`