Đáp án:

a) Gọi AI cắt BD tại H

Xét ΔABH và ΔIBH vuông tại H có:

BH chung

$\widehat{ABH} = \widehat{ IBH}$ (do BD là phân giác góc B)

$\Rightarrow$ΔABH = ΔIBH (cgv-gn)

$\Rightarrow $ BA = BI (đpcm) và $AH=IH$

b) Trong $\Delta ABC$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180-100^o}{2}=40^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=20^o$

Áp dụng tính chất góc ngoài tam giác vào $\Delta ABD$ ta có:

$\widehat{ADK} = \widehat{ BAD} + \widehat{DBA} = 100+20^o=120^o$

Tam giác DAK cân tại D do DA= DK

$\Rightarrow \widehat{DAK} = \widehat{ DKA} = \dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o$

$\widehat{ADH}=180^o-\widehat{ADK}=180^o-120^o=60^o$ (hai góc bù nhau)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong tam giác vào $\Delta ADH$ có:

$\widehat{HAD} = 180^o-90 ^o - 60^o = 30^o$

$\widehat{ HAK}=\widehat{HAD}+\widehat{DAK} = 60^o $ (1)

Xét $\Delta AKH$ và $\Delta IKH$ có:

$HK$ chung

$\widehat{AHK}=\widehat{IHK}=90^o$

$AH=IH$ (cm ở câu a)

$\Rightarrow \Delta AKH=\Delta IKH$ (c.g.c)

$\Rightarrow KA=KI\Rightarrow \Delta AKI$ cân đỉnh $K$

lại có $\widehat{ HAK} = 60 ^o$

$\Rightarrow $AIK là tam giác đều

c) Xét $\Delta AIC$ và $\Delta AKC$ có:

$AC$ chung

$\widehat{IAC}=\widehat{KAC}=30^o$

$AI=AK$ ($\Delta AKI$ đều)

$\Rightarrow \Delta AIC=\Delta AKC$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{ACI}=\widehat{ACK}=40^o$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{BCK}=\widehat{BCA}+\widehat{ACK}=40^o+40^o=80^o$