Đáp án: $GTNN$ của$ \dfrac{V_{1}}{V} = \dfrac{1}{3} ⇔ MN//BD$

 

Giải thích các bước giải: Vắn tắt

Đặt $ SB = a; SD = b; SN = x; SM = y$

Dễ thấy $G$ là trọng tâm $ΔSBD$

Hình học sơ cấp dễ cm :
$ \dfrac{SB}{SN} + \dfrac{SD}{SM} = 3 ⇔ \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} = 3 (1)$

Mặt khác dễ thấy $AG = 2PG $

$ ⇒V(P.SMN) = \dfrac{V(A.SMN)}{2}$ nên:

$ \dfrac{V_{1}}{V} = \dfrac{V(A.SMN) + V(P.SMN)}{2.V(A.SBD)} $

$ = \dfrac{3V(A.SMN) }{4V(A.SBD)} = \dfrac{6S(SMN)}{8S(SBD)} $

$ = \dfrac{3.SM.SN.sin(∠MSN)}{4.SB.SD.sin(∠BSD)} = \dfrac{3xy}{4ab}$

Đến đây có 2 cách tiếp tục :

C1: Áp dụng BĐT :

$ \dfrac{V_{1}}{V} = \dfrac{3xy}{4ab} ≥ \dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y})² } = \dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{3² } = \dfrac{1}{3}$

$ ⇒\dfrac{V_{1}}{V} $ đạt $GTNN = \dfrac{1}{3} ⇔ \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{3}{2} ⇔ MN//BD$

C2 : Khảo sát hàm số theo yêu cầu

Từ $(1) ⇒ \dfrac{y}{b} = \dfrac{x}{3x - a}$ Thay vào :

$ \dfrac{V_{1}}{V} = \dfrac{3xy}{ab} = \dfrac{3x²}{3ax - a²} $

Đao hàm $ (\dfrac{V_{1}}{V})' = \dfrac{6x(3ax - a²) - 9ax²}{(ax - 3)²} = \dfrac{3ax(3x - 2a)}{(ax - 3)²}$

$ (\dfrac{V_{1}}{V})' < 0 ⇔ x < \dfrac{2a}{3}$

$ (\dfrac{V_{1}}{V})' = 0 ⇔ x = \dfrac{2a}{3}$

$ (\dfrac{V_{1}}{V})' < 0 ⇔ x > \dfrac{2a}{3}$

$ ⇒ (\dfrac{V_{1}}{V})_{min} = \dfrac{1}{3} ⇔ x = \dfrac{2a}{3}$

$ ⇔ MN//BD$