Trừ vế với vế phương trình (1) cho (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = 3\left( {y - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\,\left( 3 \right)\\{x^2} + xy + {y^2} + 3 = 0\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Dễ thấy (4) vô nghiệm vì \({x^2} + xy + {y^2} + 3 = {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} + 3 > 0\)

Do đó \(x - y = 0 \Leftrightarrow y = x\) thay vào phương trình đầu ta được \({x^3} + 1 = 3x\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\) ta có:

\(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 1 < 0\\f\left( 0 \right) = {0^3} - 3.0 + 1 = 1 > 0\\f\left( 1 \right) = {1^3} - 3.1 + 1 =  - 1 < 0\\f\left( 2 \right) = {2^3} - 3.2 + 1 = 3 > 0\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( 0 \right) < 0\end{array}\)

Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2;0} \right)\)

Mà \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\)

\(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\)

Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình chỉ có đúng 3 nghiệm.

Vậy hệ có đúng 3 nghiệm.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

x3−y3=3(y−x)⇔(x−y)(x2+xy+y2)+3(x−y)=0⇔(x−y)(x2+xy+y2+3)=0⇔[x−y=0(3)x2+xy+y2+3=0(4)x3−y3=3(y−x)⇔(x−y)(x2+xy+y2)+3(x−y)=0⇔(x−y)(x2+xy+y2+3)=0⇔[x−y=0(3)x2+xy+y2+3=0(4)

Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x2+xy+y2+3=(x+y2)2+3y24+3>0x2+xy+y2+3=(x+y2)2+3y24+3>0

Do đó x−y=0⇔y=xx−y=0⇔y=x thay vào phương trình đầu ta được x3+1=3xx3+1=3x⇔x3−3x+1=0⇔x3−3x+1=0

Xét hàm số f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1 ta có:

f(x)f(x) là hàm số liên tục trên RR.

Lại có:

f(−2)=(−2)3−3.(−2)+1=−1<0f(0)=03−3.0+1=1>0f(1)=13−3.1+1=−1<0f(2)=23−3.2+1=3>0⇒f(−2).f(0)<0f(−2)=(−2)3−3.(−2)+1=−1<0f(0)=03−3.0+1=1>0f(1)=13−3.1+1=−1<0f(2)=23−3.2+1=3>0⇒f(−2).f(0)<0

Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;0)(−2;0)

Mà f(0).f(1)<0f(0).f(1)<0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)(0;1)

f(1).f(2)<0f(1).f(2)<0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1;2)