Đáp án:

$B.\ S = \{\pm 1;\pm 5\}$

Giải thích các bước giải:

Điều kiện xác định: $4x + 4y - 6 + m^2 >0$

Ta có:

$\bullet\quad \log_{x^2 + y^2 + 2}(4x + 4y - 6 + m^2) \geqslant 1$

$\Leftrightarrow 4x + 4y - 6 + m^2 \geqslant x^2 + y^2 + 2$

$\Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-2)^2 \leqslant m^2$

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn cặp số $(x;y)$ là hình tròn $(C_1)$ có tâm $I_1(2;2),$ bán kính $R_1 = |m|$

$\bullet\quad x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 =0$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn cặp số $(x;y)$ là đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2(-1;2),$ bán kính $R_2 = 2$

Khi đó cặp $(x;y)$ tồn tại duy nhất khi và chỉ khi $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc nhau

$\circledast\quad (C_1)$ tiếp xúc ngoài $(C_2)$

$\Leftrightarrow R_1 + R_2 = I_1I_2$

$\Leftrightarrow |m| + 2 = 3$

$\Leftrightarrow m = \pm 1$

$\circledast\quad (C_1)$ tiếp xúc trong $(C_2);\ (C_1)$ nằm trong $(C_2)$

$\Leftrightarrow R_2 - R_1 = I_1I_2$

$\Leftrightarrow 2 - |m| = 3$

$\Leftrightarrow m\in \varnothing$

$\circledast\quad (C_1)$ tiếp xúc trong $(C_2);\ (C_2)$ nằm trong $(C_1)$

$\Leftrightarrow R_1 - R_2 = I_1I_2$

$\Leftrightarrow |m| - 2 = 3$

$\Leftrightarrow m = \pm 5$

Vậy $S = \{\pm 1;\pm 5\}$