Gửi cậu 🙆‍♀️💜

$\text{a. Xét tứ giác AEMD có: }$

$\widehat{A}$ = 90° (ΔABC vuông tại A)

$\widehat{D}$ = 90° (D là chân đường vuông góc của M đến AB)

$\widehat{E}$ = 90° (E là chân đường vuông góc của M đến AC)

$\text{→Tứ giác AEMD là hình chữ nhật (DHNB)}$

$\text{b. Ta có:}$

$\text{DM=AE (tứ giác AEMD là hình chữ nhật)}$

$\text{mà DM=PD (P đối xứng M qua D)}$

$\text{→AE=PD (=DM)}$

$\text{Ta có: DM//AE (tứ giác AEMD là hình chữ nhật)}$

$\text{mà P đối xứng M qua D}$

$\text{→PD//AE (cùng //DM)}$

$\text{Xét tứ giác PDAE có:}$

$\text{AE=PD (cmt)}$

$\text{AE//PD (cmt)}$

$\text{→Tứ giác PDAE là hình bình hành (DHNB)}$

$\text{→PA=DE và PA//DE}$

$\text{Ta có:}$

$\text{DA=ME (tứ giác AEMD là hình chữ nhật)}$

$\text{mà ME=EK (M đối xứng K qua E)}$

$\text{→DA=EK (=ME)}$

$\text{Ta có: DA//ME (tứ giác AEMD là hình chữ nhật)}$

$\text{mà M đối xứng K qua E}$

$\text{→DA//EK (cùng //ME)}$

$\text{Xét tứ giác DAKE có:}$

$\text{DA=EK (cmt)}$

$\text{DA//EK (cmt)}$

$\text{→Tứ giác DAKE là hình bình hành (DHNB)}$

$\text{→DE=AK và DE//AK}$

$\text{mà PA=DE và PA//DE (cmt)}$

$\text{→PA=AK và PA//AK}$

$\text{→P đối xứng K qua A (đ.p.c.m)}$

$\text{c. Ta có: I là trung điểm DE}$

$\text{mà DE và AM là hai đường chéo của hình chữ nhật AEMD}$

$\text{→I cũng là trung điểm AM}$

$\text{Khi M chuyển động trên đoạn BC thì M sẽ trùng B hoặc C}$

$\text{mà I là trung điểm AM(cmt)}$

$\text{mà M lại trùng B trong khi di chuyển}$

$\text{nên I sẽ là trung điểm của AB}$

$\text{mà M lại trùng C trong khi di chuyển}$

$\text{nên I sẽ là trung điểm của AC}$

$\text{Vậy I sẽ chuyển động trên đường trung bình của ΔABC }$

a. Xét tứ giác $AEMD$ có :

$\widehat{MDA} = \widehat{DAE} = \widehat{AEM} = 90^o$ (giả thiết)

⇒ Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (Tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật)

b. Xét tam giác $PAM$ có :

 $AD$ trung trực

⇒ Tam giác $PAM$ là tam giác cân tại $A$   

$AP=AM (1)$

Xét tam giác $KAM$ có :

$AE$ là đường trung trực
⇒ Tam giác $KAM$ cân tại $A$ 

$AK=AM (2)$   

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra 

$AP=AK$ hay P đối xứng với $K$ qua $A$ 

c.

Ta có: $M và P$ đối xứng nhau qua $D(gt)$

nên $D$ là trung điểm của $MP$

Xét $\triangle AMP$ có

$AD$ là đường cao ứng với cạnh $MP$ $(AD⊥MD, P∈MD)$

$AD$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $MP(D$ là trung điểm của $MP$)

Do đó: $\triangle AMP$ cân tại $A$(Định lí tam giác cân)

$\widehat{PAD} = \widehat{MAD}$

Ta có: tia $AM$ nằm giữa hai tia $AE, AD$

$\widehat{EAM}+ \widehat{DAM}= \widehat{EAD}$

$\widehat{EAM}+ \widehat{DAM}=900$

Ta có: $\widehat{KAP}= \widehat{KAE}+\widehat{MAE}+\widehat{MAD}+\widehat{PAD}$

$⇒ \widehat{KAP}=2.(\widehat{MAE}+\widehat{MAD})$

$⇒\widehat{KAP}=2.900=1800$

⇒$K,A,P thẳng hàng (1)$

Ta có: $\triangle AKM$ cân tại $A (cmt)$

nên $AK=AM$

Ta có: $\triangle AMP$ cân tại $A (cmt)$

nên $AM=AP$

mà $AK=AM (cmt)$

nên $AP=AK (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $A$ là trung điểm của $KP$

Hay $P$ đối xứng với $K$ qua $A(đpcm)$