a) $\Delta ABF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AF\Rightarrow \Delta ABF\bot B\Rightarrow \widehat{ABF}=90^o$ hay $BF\bot AB$ (1)

Ta lại có $CE$ là đường cao $\Delta ABC$ (giả thiết) $\Rightarrow CE\bot AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CE\parallel BF$ (vì cùng $\bot AB$)

Chứng minh tương tự $CF\parallel BD$ (vì cùng $\bot AC$)

Tứ giác $BFCH$ có 2 cặp cạnh đối diện song song BF//CH, CF//HB (cmt)

nên BFCH là hình bình hành (dấu hiệu  nhận biết)

b) Tứ giác $BFCH$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất)

có $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow M$ là trung điểm của $HF$ nên $M,H,F$ thẳng hàng (đpcm)

c) Xét $\Delta FAH$ có:

$O$ là trung điểm cạnh $AF$, $M$ là trung điểm cạnh $FH$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta FAH$ nên $OM\parallel AH$ và $OM=\dfrac{1}{2}.AH$ (đpcm)

d) Do G là trọng tâm của $\Delta AHF$ và $M$ là trung điểm của $HF$ $\Rightarrow\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{2}{3}$ mà $M$ là trung điểm của $BC$

$\Delta ABC$ có M là trung điểm của $BC$, có điểm G với $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{2}{3}$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ (đpcm)