a, 

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông là $\hat{BAC}, \hat{DEA}, \hat{DFA}$ 

b,  

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AD= BD= DC 

Vì BD= AC nên $\Delta$ ABD cân ở D. Mà tam giác cân này lại có DE đường cao nên cũng là trung tuyến => BE= EA

Tứ giác ADBM là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường (BE= EA, ME= ED) 

Tương tự ADCN cũng là hình thoi 

c, 

EDFA là hình chữ nhật nên $\hat{EDF}$= 90 độ 

BDAM là hình thoi nên MA= AD 

ADCN là hình thoi nên DA= AN 

=> MA= AD= AN 

$\Delta$ MDN vuông ở D có trung tuyến DA ứng với cạnh huyền MN bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền nên A là trung điểm MN 

=> M đối xứng với N qua A 

d, 

Hình chữ nhật EDFA là hình vuông khi EA= AF 

<=> 2EA= 2AF 

<=> AB= AC 

Vậy khi $\Delta$ ABC vuông cân ở A thì EDFA là hình vuông

a, Tứ giác AEDF có: E=A=F=90 độ

⇒AEDF là HCN⇒đpcm

b, -Xét ΔDFA và DFC có:

F1=F2=90 độ

DA=DC (vì: D là trung tuyến trong tam gics cân)

DF là cạnh góc vuông chung

⇒ ΔDFA=DFC (ch-gv)

⇒FA=FC (2 cạnh tương ứng)

-Ta có: FA=FC(cmt)

            FD=FN (GT)

            DN⊥AC

⇒ADCN là hình thoi

*Chứng minh tứ giác ADBM tương tự

c, Ta có: BDAM là hình thoi

⇒AD=AM (2 cạnh kề)

-Xét ΔEAM và ΔFDA có:

E=F=90 độ

AM=AD (cmt)

AE=DF (2 ngán HCN)

⇒ΔEAM=ΔFDA (ch-cgv)

⇒MAE=DAF (2 góc tương ứng)

⇒MAD=90 độ (1)

-Xét ΔMAE và ΔNAF có:

AF=AE (2 cạnh HCN)

F=E=90 độ

FN=EM (=DF)

⇒ΔMAE và ΔNAF (c.g.c)

⇒AM=AN (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ⇒M đối xứng N qua A⇒đpcm

d, Điều kiện: ΔABC vuông cân tại A