Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Giả sử phân $\frac{2n+3}{4n+1}$  chưa tối giản

⇔2n+3;4n+1 có ước chung là số nguyên tố

Gọi số nguyên tố d=ƯCLN(2n+3;4n+1)

⇔$\left \{ {{2n+3⋮d} \atop {4n+1⋮d}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{4n+6⋮d} \atop {4n+1⋮d}} \right.$ 

⇔5⋮d

⇔d∈{1;5}

+) d=5⇔2n+3⋮5

⇔2n+3+5⋮5

⇔2n+8⋮5

⇔2(n+4)⋮5

Mà ƯCLN(2;5)=1

⇔n+4⋮5

⇔n=5k−4(k∈N)

Vậy n=5k - 4 thì phân số $\frac{2n+3}{4n+1}$  tối giản

giả sử ps 2n+3/4n+1 chx tối giản

=>2n+3,4n+1 có ước chung là số nguyên tố

gọi số nguyên tố d là ƯCLN(2n+3,4n+4)

⇒ 2n+3 chia hết cho d, 4n+1 chia hết cho d

⇒ 4n+6 chia hết cho d, 4n+1 chia hết cho d

⇒ 5 chia hết cho d

⇒ d∈(1;5)

+) d=5⇒ 2n+3 chia hết cho 5

=>2n+3+5 chia hết cho 5

⇒ 2n+8 chia hết cho 5

⇒ 2(n+4) chia hết cho 5

mà ƯCLN(2;5)=1

⇒n+4 chia hết cho 5

⇒ n=5k-4(k∈N)

VẬY n=5k+1 thì ps 2n+3/4n+1 tối giản